Random Walks
Kandidatkursus efterår 2014

Kursuslærer: Jørgen Larsen.

Kursusmateriale: Vi skal benytte (dele af) følgende værk der er udgivet som almindelig bog og som e-bog på forlaget Wiley i 2013:
Oliver C. Ibe: Elements of Random Walk and Diffusion Processes, ISBN: 978-1-118-61809-7 (almindelig bog), 978-1-118-61793-9 (e-bog). – E-bogsudgaven er anskaffet af Roskilde Universitetsbibliotek; RUC-personer kan derfor logge ind på biblioteket og læse bogen on-line fra en vilkårlig computer (gratis). Man kan naturligvis også anskaffe sig sin egen udgave af den almindelige bog eller af e-bogen.

Kurset henvender sig til studerende på en kandidatuddannelse med matematik (gammel ordning) og tæller 7½ ECTS-points. Der forudsættes kendskab til sandsynlighedsregning svarende til kandidatkurset Statistik og Sandsynlighedsregning.

Her er en fin lille formelsamling som måske kan være til lidt nytte, selv om størstedelen af den ikke er relevant for dette kursus; i alle tilfælde er den et et imponerende eksempel på udnyttelse af pladsen på siderne.

Forskellige smånotater (som der også henvises til i Kalenderen nedenfor):
Supplement til Afsnit 3.14 med en simplere udledning af formel (3.34) og med et bevis for Proposition 3.1 med formel (3.35). (dateret 29. september 2014)
Nogle resultater om hvor ofte symmetriske random walks i en, to og tre dimensioner vender tilbage til udgangspunktet, bl.a. erstatning for Afsnit 4.3.2. (dateret 14. oktober 2014)
Om sandsynligheden for at Wienerprocessen passerer 0 i et givet tidsrum. (dateret 15. oktober 2014)
Lidt om Itos formel, Afsnit 6.4. (dateret 30. oktober 2014)
Artiklen Jain (1971), omtalt i afsnit 7.5.
En note af Joel Feldman om telegrafligningen.
En artikel om Random Walks with Decreasing Steps.
En artikel om Random Harmonic Series.
En artikel om Random walk with shrinking steps.

Kalender:

8. september:

Første kursusgang.
Kort repetition af grundlæggende begreber fra sandsynlighedsregningen.

11. september:

Afsnit 3.1 og 3.2.

15. september:

Vi vil tale om de meget korte afsnit 3.3 og 3.5. Dernæst afsnit 3.6 og afsnit 3.7.1.
Opgave 3.1 (på side 100).

18. september:

Afsnit 3.7.3 og 3.9.

22. september:

Afsnit 3.10.2.

25. september:

Deltageroplæg om afsnit 3.7.2 og om 3.10.1.
Afsnit 3.12; nogle supplerende noter.

29. september:

Afsnit 3.13 og 3.14. Opgave 3.4 og 3.5 i bogen.

2. oktober:

Lidt om markovkæder og om random walk på grafer, afsnit 2.10.1-5 og 3.15.3.

6. oktober:

Afsnit 4.3, den symmetriske random walk i dimension 2.

9. oktober:

Vi går videre med spørgsmålet om en 2D-random walks tilbagevenden til start; nogle supplerende noter herom.
Derefter begynder vi så småt på Kapitel 5, Brownian Motion.

13. oktober:

Kapitel 5, fortsat.

16. oktober:

Afsnit 5.8 og 5.9. Notat om nulpunkter for Wienerprocessen. Opgave 5.2.

20. oktober:

Deltageroplæg om afsnit 3.11 og 3.12.

23. oktober:

Start på Kapitel 6. Uddybning af afsnit 6.4.

27. oktober:

Afsnit 6.5.
Deltageroplæg om afsnit 5.10 og afsnit 6.6.

30. oktober:

Deltageroplæg om den fysiske Brownske bevægelse.
Start på kapitel 7.

3. november:

Afsnit 7.4.1.
Afsnit 7.5: En korreleret random walk der viser sig at føre frem til telegrafligningen. (Det kan være nyttigt at læse den første halve side af den citerede artikel af Jain (1971).)

6. november:

Telegrafligniningen i fysik, jf. Joel Feldman's note herom.
Stabile fordelinger; karakteristiske funktioner (afsnit 8.1 - 8.3).

10. november:

Deltageroplæg om afsnit 6.7.3 og afsnit 7.6.

13. november:

Deltageroplæg om afsnit 7.8.

17. november:

-

20. november:

Random walks med aftagende skridtstørrelse.

24. november:

-

27. november:

Deltageroplæg om afsnit 6.7.1 og om afsnit 7.7.

1. december:

Sidste kursusgang.

Onsdag den 7. januar 2015: Eksamen.