Liste over projekter af typen model- og modelbyggerprojekt

I dette projekt analyseres en matematisk model af koreaepidemier, i byer forbundet a et flodsystem. Stabilitetsanalysen er trinvist beskrevet for at give læseren en grundig forståelse af materialet. Et Matlab-program er blevet skrevet og er inkluderet i sin helhed i appendixet. Programmet er overfladisk beskrevet i projektet. Modellens brugbarhed diskuteres i forhold til de nødvendige parametre, og resultaterne fra et kunstigt opsat scenarie, der er udregnet i programmet. Det viser sig, at der er nogle problemer med modellen, da flere af parametrene m kalibreres efter specifikke udbrud efter de er sket. Dette skyldes hovedsageligt en manglende forståelse af bakteriens opførsel. Der bliver også fundet et problem ved brug af Matlab-koden, der resulterer i en fejl der vokser jo længere tidsperiode der simuleres.

This project is based around the analysis of a mathematical description of V. cholerae epidemics in cities connected by a river system. The stability analysis is descriped step by step to give the reader a thourough understanding of the material. A Matlab package has been coded and is included in full in the appendix. The program is explained superficially in the project. The usefulness of the modelis discussed in regards to the parameters needed, and the results reaced by an artificial scenario calculated by the program. It becomes evident that there are some problems withe the current model, due to several parameters that needs to be calibrated to specific outbreaks after they occur. This is mainly caused by a lack of understanding of the bacteria. Some problems concerning the calculations in Matlab are uncovered, which will result in an error that grows over longer timespans.

I det følgende bliver syntaks, konstant domæne semantik med ikke-rigide konstanter samt et aksiomsystem for n-agent systemer med identitet for en termmodal logik præsenteret. Denne tillader operatiorindekser at være termer fra første-ordens sproget, hvilket resulterer i, at operatorerne også opfører sig som prædiktar. Det er muligt at kvantificere over agenter, og agenterne er afspejlet i den semantiske structure. Det bliver vist, hvordan de klassiske, epistemiske aksiomer kan blive tilføjet tilgrundsystemet. Eksempler på udtryksdygtighed bliver givet, og muligheder for videre forskning bliver adresseret.

In the present paper syntax, constant domain semantics with non-riged constants and an axiom system for n-agent systems with identity for a term-modal logic is presented. This allows operator indices to be terms of the first-order language resulting in poerators doubling as predicates. Quantification over agents is possible and the agents are reflected in the semantic structure. It is shown how classic epistemic axioms af S5 can be added to the core system. Examples of expressibility are given, and venues of further research addressed.

This project is about mathematical models and the spread of cervical cancer. Cervical cancer develops from the human papillomavirus (HPV), which is a collection of nearly 200 different viruses that causes everything from warts on the feet to cervical cancer. There has in recent years been much focus on cervical cancer, partly because it's the cancer which in the developing world kills more women than any other, and partly because it's one of those cancers, which it is actually possible to limit the spread off in several ways. From a mathematical point of view, it is of particularly strong interest to develop mathematical models that can predict the development of cervical cancer, and assist in a more focused development of screening and vaccination programs. Although it is possible to get the vaccine against HPV 16 and 18, which causes most of the cases of cervical cancer, modeling results shows that there is still a need, for screening programs to catch those cases the vaccine fails to prevent. We have in this project looked at two articles, both of which have mathematical models for the spread of cervical cancer, as well as looked at the effect of a vaccination program. Since one of the articles already have been the subject of a thorough study of a former RUC project from 2009, we have in this project, chosen to focus more on the model developed in the Finnish article. In light of both a general description of HPV and a review of the Finnish model, we have formulated and discussed our own model, which have been adapted to Danish conditions, with a special emphasis on whether the conclusions in the article by Barnabas et.al. can be applied to Denmark. Our main conclusion is that, it does have a small benefit to vaccinate men, however it is rather marginal, and it would be preferable to instead use the cost of this on other kinds of treatment.

Bayesian Nerworks are commonly used to determine thr probability of an event´s occurrence in different situations. In this projects, A Bayesian Networks is used to make an estimate og the weather at Trekroner (Roskilde University, Denmark). In the first part of the reprot, som background knowledge for understanding Bayesian Networks is provided. Then, a Bayesian network model that is used to derive the possible outcome of temperature and precipitation based on other pre-determined factors that affect them is described. Teh model is represented as causal network graphically and from there we used probability calculus (Bayes´ Fornulas) to determine the probability distribution of different outcomes of temperature and precipitation. Prior probabilities of different variables in the model are computed based on ca. 7 years of weather data by using a computer program written in PRISM. These prior probability values are applied in two different equations to make desire estimations for weather. The results are satisfying and we got a nice general overview for how Bayesian Networks work. However, it is always true that weather forecasting is quite complex and this model is rather simple for making accurate estimations.

In this thesis we examined the phenomena caused by initial gravitational effects and short term neural control when the human body is subjected to a head-up-tilt (hut) test. This was done by constructing a simple mathematical model, which describes the systemic circulation of the cardiovascular system. The human body is divided into two parts; the lower and the upper body, which are further divided into venous and arterial compartments. The left heart isdescribed as a pump with time-varying elastance, thus making the model pulsatile. The system is modeled as an electrical analogue in which pressure is analogous to voltage. Flow to current, compliance to capacitance, and resistance is the same in both settings. The circuit can be represented by five non-linear ordinary differential equations. To predict dynamics during hut, the neural control is included by defining time-varying peripheral resistance, venous compliance, and heart contractility. These regulating mechanisms were modeled by set-point fuctions and sigmoidal functions, which resemble the behavior seen in experiments. We also developed an idealized cardiovascular model of the human body, where teh body is considered an elastic cylinder. We found the hydrostatic invariance point, and related this to the hut. The model was validated using data from a healthy 25 year old subject who underwent hut, and parameter estimation techniques were employed to estimate a set of parameters that minimized the least squares error between the model and the data. By identifying correlated parameter pairs and fixing insensitive parameters we were able to obtain reliable estimates for five model parameters during hut, and nine parameters in steady state. In steady state, we used three data sequences to obtain more reliable estimates. The constructed model was able to predict dynamics observed in the data both during steady state and during hut. There are fluctuations in the data which cannot be explained by the model, but we believe these originate from the respiration of the patient, something that is not included in the model. All model variables produce physiologicaly reasonable results during the hut: cardiac output drops the same amount as seen in the lterature, lower venous pressure is increased in agreement with other studies, and upper arteral pressure resembles the data obtained. These results show that the simple model can be used to predict responses from larger groups of subjects. Subsequent analysis of parameter estimates have potential to be used to predict differences within and between these groups of subjects. However, before using the model in a larger study, we suggest to include the following model improvements: 1) Include a simple model for the respiration of the patient. 2) The control of the lower venous compliance should be a strictly mechanical feature, and not part of the baroreflex system. 3) The upper peripheral resistance should also be controlled.

Dette projekt tager udgangspunkt i spørgsmålet om, hvordan det kan være, at matematik er så effektiv, og derofr så ofte anvendes i andre dele af verden end bare matematikken. Vores spørgsmål går på, hvordan det kan være, at matematik virker i andre fag end matematik selv. Vi har forsøgt at besvare spørgsmålet igennem tre forskellige cases, vhor matematik kan tilskrives en betydelig del af successen. Vi har forsøgt at sprede cases, både i forhold til på hvilken måde matematik indgik, samt i forhold til hvilke andre fagområder der indgik. De tre cases var henholdsvis Hardy-Weinbergs ligevægtslov for genetiske populationer, JPEG-algoritmen til komprimering af digitalbilleder og en kartonmodel af Planetarie-bygningen i København. Igennem en analyse af disse tre cases, fandt vi som det første, at vi ikke generelt kan beskrive, hvad det vil sige, at matematikken "virker" i sammenhængen. Matematikken virker på forskellig vis fra case til case, ligesom vi også fandt, at grunden til, at det kan lade sig gøre at anvende matematik, er vidt forskellig fra case til case. Vores formodning er, at disse resultater er generelle, da man ikke kan finde en fælles begrundelse for, at matematik virker.

This project originates from the question of how come Mathematics is so effective, and hence is being used in so many other areas of the world, other than that of mathematics. Our question regards how come mathematics works in other discplines than mathematics itself. Our approach to the question was through three different cases, where mathematics could be assigned a great deal of the reasonfor the success. We tried to spread out in our choices af cases, both when it came to the way mathematics is interacting, but also when it came to what scientific fields, we were looking at. The three cases were the Hardy-Weinberg law on genetic populations, the JPEG algorithm used for compressing digital images, and a cardboard model of the Planetarium in Copenhagen. Through our analysis of these three cases, we found, firstly, that it is not possible to give a common description of what it means that the mathematics "works" in the case. The mathematics works in different ways in the different cases. Secondly, we found that the reason that mathematics can be used, is also different among the cases. Our assumption is that these results are general, that one cannot find one common reason that mathematics work.

Formålet med dette projekt er at undersøge, dels hvorvidt gruppeteori kan bruges som model for isomorfe kurver i IPL-væsker, og dels hvorvidt forklaringen på isomorf opførsel kan findes som symmetri i løsninger til de, for dette projekt ukendte, differentialligninger, der ligger til grund for dynamikken i simulering af viskøse væsker. Ved at analysere IPL-modellen med gruppeteori bliver der opstillet en transformationsgruppe GIPL til beskrivelse af ækvivalensrelationen r1n/3 /T1 = r2n/3/T2. Der bliver udfra dette vist, at isomorfe kurver kan beskrives som banekurver i (T, r)-planet, hvor enhver banekurve kan identificeres som et element i kvotientrummet ved hjælp af isochorer og isotermer. Ud fra dette konkluderes det, at banekurver kan bruges som model for isomorfer, da disse indfanger visse isomorfe karakteristika. Til sammenligning med de ukendte underliggende differentialligninger anvendes varmeledningsligningen som et simpelt eksempel på et differentialigningssystem. Udfra Olver [1993] bliver der opstillet en symmetrigruppe, Gi, for hvilken løsningen T(x, t) = je?(x?Kt) er gruppeinvariant. Ud fra parametrene (k, c, r), der udgør konstanten K, opstilles en ækvivalensrelation og hertil en gruppe, Geq, der beskriver ækvivalensrelationen. Det vises således, at løsninger til varmeledningsligningen er invariante overfor transformation af denne ved Geq. Udfra analysen af varmeledningsligningen med hensyn til symmetrigrupper, gruppeinvariante løsninger og invarians overfor transformation af parametrene i varmeledningsligningen postuleres det, at eksistensen af isomorfer antyder tilstedeværelsen af løsninger, som er invariante overfor transformation af det underliggende differentialligningssystem. En sådan invarians burde derfor kunne findes i alle væsker, der udviser isomorf opførsel. For IPL-væsker formodes det, at ækvivalensrelationen, givet ved det konstante forhold mellem r n/3 og T langs de isomorfe kurver, har relation til denne invarians.

Mathematical modelling of isomorphs in IPL-liquids The purpose of this project is to investigate, in part whether group theory, can be used as a model for isomorphic curves in IPL-liquids, and in part whether the explanation of isomorphic behaviour can be found as symmetry in solutions to the, for this project unknown, differential equations that controls the dynamics in simulations of vicous liquids By analysing the IPL-model with group theory a transformation group GIPL was suggested as a way of describing the equivalence relation r1n/3 /T1 = r2n/3/T2. From this it was shown, that isomorphic curves can be described as orbits in the (T, r)-plane, where each of the orbits can be identified as elements in the quotient space by means of isochors and isotherms. From this it is concluded, that orbits can be used as a model for isomorphs, since these capture some of the isomorphic characteristics. As a frame of reference to the unknown differential equations, the heat equation is used as a simple example of a system of differential equations. Based on Olver [1993] a symmetry group Gi is established, for which the solution T(x, t) = je?(x?Kt) is group invariant. From the parameters (k, c, r), which define the contant K, an equivalence relation is created along with a group, Geq, that describes this relation. From this it is shown, that solutions to the heat equation are invariant to transformation by Geq. From the analysis of the heat equaiton in respect to symmetry groups, group invariant solutions and invariance towards transformations of the parameters in the heat equation it is postulatet, that the existence of isomorphs imply the presence of solutions that are invariant to the transformation of the underlying system of differential equations. Such an invariance should thus be pressent in all liquids that exhibit isomorphic behaviour. For IPL-liquids it is surmised that the equivalence relation given by a constant ratio between r n/3 and T along isomophic curves has a relation to this invariance.

In this thesis we start out by dealing with a mathematical model of the onset of type 1 diabetes as proposed by Marée et al. (2006). It is a 5-dimensional model that uses ordinary differential equations (ODEs) to simulate the behavior of macrophages, activated macrophages, apoptotic beta-cells, necrotic beta-cells, and cytotoxic cytokines in neonate NOD- and Balb/c-mice. The purpose of Marée et al. (2006) is primarily to investigate the hypothesis that impaired macrophage phagocytosis can mean the difference between health and type 1 diabetes (in mice). Marée et al (2006) base their hypothesis on previous work by Trudeau et al. (2003) and Marée et al. (2005). We start out by presenting an indtroduction to the biology behind the DuCa model and introduce som of the tentative treatment strategies as of today. With the groundwork in place we present, and discuss the foundations of, the model, which we have dubbed the DuCa model, and provide an analysis of a reduced version of the DuCa model, called the intermediate model (IM). The IM is based on the so-called Copenhagen model, made by Blasio et al. (1999). // After this gentle interlude we proceed to do a codimension 1 bifurcation analysis of the DuCa model. The analysis serves to determine the overall soundness of the model. Where by "soundness" we mean the lack of nonphysiological behavior within a reasonable range of key parameters. The bifurcation analysis, and a thorough discussion of the adherent assumptions as well as simplifications, leads us to conclude that the DuCa model is sound. Based on these findings we expand the DuCa model, guided by recent data and guidelines that should apply to all mathematical models as well as some criteria that pertain to this model in particular. The expansion consists of a compartment of healthy Beta-cells. By this expansion we add to the realism of the model and set up a model from which future researches can analyze how best to go abourt countering the chronic inflammation of the Islets of Lagerhans that leads to T1D in 80 % of female NOD-mice. In our discussion of the expanded model we also provide som hints as to how one would go about implementing the effect of, in particular, one tentative drug, as well as point to additional features that need implementing (and how this could be done).

We investigate a ODE model and appertaining claims from [PDG06]. A paradigmatic and fundamental discussion about continuity/discontinuity of the phenomena in question was undertaken. It was concluded that the standpoint taken in [PDG06], where they argue for discontinuity, is not entirely justified. In addition, it was shown that if discontinuity turns ourt to be true, a much more applicable methodology in the form af Kalman filtering, could be utilized instead of using stochastic differential equations as proposed in [PDG06]. Under the assumption of continuity of the phenomena in question, investigations was in turn undertaken. First of all, alternative parameter estimation techniques was tried out but with limeited results. It was hypothesized that glucagon had to be taken into account, and models extending the ODE model form [PDG06], was proposed. One of these actually attined enhanced physiologically reasonable model behaviour, but essential model deficiency is till present. Obvious problematic parts of the extended model, that could be responsible for the poor fitting results, was hypothesized for future work. This hypothesis also have physiological implications w.r.t. an increased understanding of the human glucose regulatory system.

I dette projekt modelleres replikationen af det bakterielle kromosom i Escherichia coli, med udgangspunkt i den delvist stokastiske og deterministiske model opstillet i Mahaffy & Zyskind (1989). Der opstilles en deterministisk model analog til Mahafy & Zyskind (1989). Projektets formål er at undersøge, hvordan ydre faktorer, i form af føde, påvirker stabiliteten af modellen. Nærmere undersøges det, hvordan variationer i produktionen af DnaA og Cellemassens fordoblingstid påvirker modellens stabilitet. Dette gøres dels ved en anlytisk analyse af modellen omkring ligevægte, samt ved en numerisk analyse af modellens værdier omkring ligevægte. Endvidere opstilles og diskuteres konkrete forslag til udvidelser af modellen. Diss omfatter modellering af RIDA, datA, sekvestrering af dnaA-genet ved SeqA, samt modellering af DnaA-boksene på oriC. Vi konkluderer, at der i modellen er mulighed for en transkritisk bifurkation, således at dersker et skift i stabilitet mellem ligevægte.

The present project propose a deterministic model for the replication of the bacterial chromosome based on the work by Mahaffy & Zyskind (1989). The main aim of this project is to examine how external factors influence on the stability of the model. In order to do this, we examine how the production of DnaA and the doubling rate of the cell mass, affects the models stability. This is done in an analytical analysis of the model near equilibrium, and further by a mumerical analysis of output values near equilibrium. Furthermore we propose and discuss extensions of the model. These extensions include modelling of RIDA, datA, Sequestration of the dnaA-gene by SeqA and remodelling of oriC to contain multiple DnaA-boxes. We conclude that there is a possibility for the existence of a transcritical bifucation, which resolves in a shift of stability.

In the last part of 2008 stock markets all over the world went through a periode of very high variability, a variability which can´t be explained by common models for financial markets. In this project a model is analysed, that treats financial markets as a complex system. The purpose is to give an answer to the question if complex system models are able to explain the realised rate of variability.

This report processes a mahematical model of the onset of Type 1 Diabetes (T1D) formulated by the people of Marée et al. (2006) which we have coined the DuCa model. The model originates from the so called Copenhagen model (Blasio et al (1999)) from where it has been modified to investigate the hypothesis; can impaired macrophage phagocytosis make the difference between health and disease? The work presented here is part of a master thesis in progress. The Master thesis aims to implement a GLP1-Gastrin hormone treatment in a mathematical model of the onset of T1D. This model could potentially serve as a proof of principle of a treatment that empirically has shown its positive effect. The writings of this thesis should be seen as the preliminary workthat is necessary for an adaption and ultimately modification of an already formulated mathematical model. As it is often the case, the best way to gain insight into the various commplex artifacts of man, is by studying their function as whole for then to take them apart to study the elements of which they are build, and then, hopfully, assemble them again. The current case is not an exception. We tested teh DuCa model by first reproducing the result using the estimated parameters values presented in Marée et al. (2006). We then turn to an intermediated model, which can be seen as a slightly extended version of the Copenhagen model and as an -inadequate - striped down version of the DuCa model. An analysis of the intermediated model contributed to better understanding of the different terms in the system of differential equations for the DuCa model. Furthermore it made it evident what kind of problems the people af Marée et al. (2006) were facing when trying to modify - and quantify an otherwise strictly qualitative Copenhagen model. In addition it gave us an conceptual understanding of the kind of dynamics that the people of Marée et al. (2006) were aiming for the DuCa model to exhibit. Finally we did a bifurcation analysis of the DuCa to make it evident why the model showed different kinds of dynamics when only adjusting the values of the parameters that represents the phagocytosis rates of macrophages and to investigated how sensitive the model were to changes of these parameters. We conclude that the DuCa model is a suitable model for the ongoing work of implementing a GLP1-Gastrin hormone treatment, albeit with som reservations.

Denne rapport omhandler undersøgelser af svingninger og dæmpninger af disse, helt specifikt svingning af legemer og partikler og dæmpning af disses svingninger. I makro-perspektiv kan enhvert fysisk objekt med masse og elasticitet udsættes for en mekanisk svingning. På sammen måde, i mikro-perspektiv, er subatomare partikler kendt for at have kvante-mekaniske bølgeegenskaber som er svingnings bevægelser. Både menneskefremstillede legemer og strukturer har det til fælles med naturskabte systemer at de udsættes for svingninger i dele af deres levetid eller hele tiden. Der er de sidste år sket en stor videnskabelig udvikling og der er skabt en stor interesse for - og åbnet sig nye perspektiver for - det område som normalt kaldes svingende systemer beskrevet ved partielle differentialligninger (PDL).

I dette speciale opbygges to matematiske modeller af HPA-aksen (hypothalamic-pituitary-adrenal-axis) bygget på baggrund af velkendte fysiologiske mekanismer. HPA-aksen reuglerer udskillelsen af hormonerne CRH, ACTH og kortisol. Reguleringen af disse hormoner er vigtigt for helbredet. Modellerne inkluderer et negativt feedback fra kortisol på ACTH. Den første model har et negativt feedback fra kortisol til CRH i overensstemmelse med ´standard lærebogs´beskrivelse af HPA-aksen. Den anden model tillader fortegnet af feedbacket på CRH fra kortisol at variere afhængigt af koncentrationen af kortisol. Dette opnås ved at medtage mekanismer fra hippocampus. For parameterværdier i et fysiologisk relevant område undersøges det om modellerne er i stand til at give løsninger, der har et rimeligt koncentrations niveau. Om modelen er i stand til at eftervise de hurtige svingninger, der er observeret i data. Samt om en påtrykt funktion på den differentialligning, der styrer udskillelsen af CRH er i stand til at eftervise dagsrytmen, der ses i koncentrationerne for ACTH og kortisol. Tidligere artikler omhandlende modellering af HPA-aksen, [1] og [2] giver udtryk for at deres model kan eftervise de hurtige svingninger. Vi analyserer de to modeller og finder signifikante mangler, der må udbedres i en model, der inkluderer de fysiologiske mekanismer af HPA-aksen. Resultater af den analytiske undersøgelse af vores modeller For begge modeller resulterer undersøgelserne i at alle løsninger i endelig tid ender i et afgrænset område af den positive oktant af R3. Dette garanterer løsninger med et rimeligt koncentrationsniveau. Inde i det afgrænsede område eksisterer mindst en ligevægtsløsning. Den første model har en og kun en ligevægtsløsning. I dette tilfælde er ligevægtsløsningen lokalt stabil for alle rimelige parameterværdier. Derfor er en Hopf bifurkation ikke mulig som en forklaring på de hurtige svingninger. For den anden model er det muligt at have mere end en ligevægtsløsning. Stabiliteten af disse ligevægtsløninger kategoriseres udfra fortegnet på det feedback der er på CRH i ligevægtspunktet. Et tilstrækkeligt, let anvendeligt kriterie for en unik, global stabil ligevægtsløsning formuleres for en mere generel model. Dette kriterie kan benyttes på de to specifikke modeller. Resultater af den nummeriske analyse af vores modeller I tilfældet hvor der kun eksisterer en ligevægtsløsning er denne asymptotisk stabil for alle rimelige parameterværdier og begyndelsesbetingelser. En perturbation af parametrene i den anden model giver mulighed for en bifurkation hvor nye ligevægtsløsningen fremkommer. I tilfældet hvor der er tre ligevægtsløsninger, vil der for rimelige parameterværdier eksistere to asymptotisk stabile ligevægtsløsninger samt en ustabil løsning. For realistiske parameterværdier konvergerer løsningerne til en af de stabile ligevægtsløsninger. Dette medfører at for realistiske valg af parametre er ingen af de to modeller i stand til at vise de hurtige svingninger. Det analytiske krav for global stabilitet er opfyldt for nogle sæt af fysiologisk relevante parameterværdier. Dette gør sig gældende for begge modeller. En påtrykt funktion på den differentialligning, der styrer udskillelsen af CRH er i stand til at eftervise døgnrytmen, der sis i koncentrationerne for SCTH og kortisol.

In this thesis two mathematical models of the hypothalamic-pituitary-adrenal-axis (HPA-axis) are build using well known physiological mechanisms. The HPA-axis controls the secretion of the hormones CRH, ACTH and cortisol. The regulation of these hormones are important to human health. These hormones are the variables in two systems of coupled non-linear differential equations that constitute the models. The models includes a negative feedback of cortisol on ACTH. The first model has a negative feedback from cortisol on CRH corresponding to the "standard biology textsbook" description of the HPA-axis. The second model allows a feedback from cortisol on CRH to be positive og negative depending on the cortisol concentration by including mechanisms from hippocampus. For parameter values in a physiologically relevant range it is investigated if the models are capable of guaranteeing solutions with reasonable levels in hormone concentration. It is investigated if the models are capable of producing the ultradian oscillations that are observed in data of hormone concentrations. It is investigated if an external imposed function on the differential equation governing the CRH concentration can cause the circadian rhythm that is seen in the concentrations of ACTH and cortisol. Previous papers of the HPA-axis [1] and [2] claim to make models showing ultradian oscillations. We analyze the two models and find significant drawbacks that must be elaborated for a successful model taking care of the physiological mechanisms of the HPA-axis. Results of analytical investigation of our models For both models the results of the investigation is that all solutions end in a trapping region in the positive octant of (R3), thus guaranteeing reasonable levels in hormone concentration. Within this trapping region there exists at least on fixed point. The first model has a unique fixed point. The unique fixed point is locally stable for all physiological choices of parameters. Therefore no Hopf bifurcation is possible as an explanation for the ultradian oscillations in data. For the second model more than one fixed point is possible. The stability of a fixed point is categorized depending on the sign of the feedback on CRH at the fixed point. A sufficient, easily applicable criteria for a unique, globally stable fixed point is formulated for a more general model. This can be applied on the two specific models. Results of numerical investigation of our models In the case of a unique fixed point this is asymptotically stable for all reasonable parameter values and initial conditions. Perturbating the parameters in the second model makes the system undergo a bifurcation where two new fixed points emerge. In the case of three fixed points there is one unstable fixed point and two asymptotically stable fixed points. For all reasonable values of parameters and initial conditions the solutions converge towards one of the two stable fixed points. Thus for reasonable parameter values neither of the models are capable of producing the ultradian oscillations. The analytical criteria for a globally stable fixed point is fulfilled for some set of parameters within physiologically relevant ranges for both models. An external input in the differential equation governing CRH is capable of showing circadian oscillations in ACTH and cortisol concentration.

Projektet handler om Social Choice teoriens status som matematisk model. Teorien som beskæftiger sig med aggregering af individuele præferencer over en mængde af valgmuligheder til en kollektiv præference for samme muligheder. Dette benyttes især i økonomi og beslutningsteori. Projektet præsenterer teoriens grundbegreber som de er fremstillet af Kenneth Arrow og Amartya Sen. Som eksempel på et resultat der er opnået med modellen, fremstilles Arrows umulighedsteorem samt beviset for dette. For at vise rækkevidden af modellen, der der gennemgået eksempler på dens anvendelse i økonomi og beslutningsteori. Endvidere præsenteres en diskussion af teoriens grundlag, repræsenteret af en liberalistisk og en marxistisk inspireret kritik. Konklusionen siger bl.a. at der er tendens til at bruge umulighedsteoremet og modellen i situationer, som disse to ting ikke omfatter.

The project is about the status of Social Choice theory as mathematical model. The theory treats aggregations of individual preferences over a set of choices to a collective preference of the same choices. This is often used in economics and decision theory. The project presents the main notions of the theory, as they are formulated by Kenneth Arrow and Amartya Sen. As an example of results within the model, Arrows Impossibility Theorem is presented and proofed. To show the range of the model, som examples from the use in economics and decision theory is presented. There is also presented a discussion about the foundation of the theory, represented of a liberalist and Marxist inspired critique. The conslusion says among other things, that the impossibility theorem and the model is often used in situations not included by these.

Projektet tager udgangspunkt i en matematisk model opstillet af McBryde et al. (2007), som simulerer den hospitalserhvervede spredning af patientinfektioner med methicillin-resistente Staphyloccocus aureus (MRSA) på en intensivafdeling. Projektets formål er at afdække, hvilke forudsigelser og resultater modellen kommer med, og hvordan man ud fra disse kan lave anbefalinger til forholdsregler imod hospitalserhvervet MRSA. Vi analyserer og forholder os kritisk til modelopbygningen og resultaterne. Modellen er bygget op om en lang række antagelser vedrørende spredning af MRSA og indeholder parametre, der knytter sig til disse antagelser. For at forholde os kritisk til resultaterne laver vi en variation af parametrene. Modellen findes både i en stokastisk og en deterministisk udgave, og vi diskuterer betydningen af dette. I vores diskussion har vi sat modellen ind i en bredere kontekst, hvor vi går i dybden med modellens antagelser, mål for resultater og gyldighed. Formålet er at placere McBryde et al. (2007) i forhold til genstandsfeltet om matematisk modellering af hospitalserhvervede infektioner med antibiotikaresistente bakterier.

The starting point for the project is a mathematical model made by McBryde et al. (2007). The model simulates the hospital acquired spread of patient infection with Methicillin-resistant Staphyloccocus aureus (MRSA) in an intensive care unit. We clarify the predictions and results of the model. The purpose of this is to infer on how to make recommendations for interventions against hospital acquired MRSA. We analyse and take a critical standpoint regarding the construction of the model and our results. Many assumptions regarding to the spread of MRSA lie in the foundation of the model which can also be recognized in the parameters it includes. We discuss the importance of the two versions of the model which is both stochastic and deterministic. Furthermore we find it important to put the model into a broader perspective by discussing the assumptions behind, measurements for the output of the results and overall applicability. The purpose of this discussion is to be able to place McBryde et al. (2007) in a wider context of research projects with a mathematical approach to hospital acquired infections by antibiotic resistant bacteria.

Denne rapport undersøger en matematisk model for blodforgiftningen sepsis. Modellen er udarbejdet af Zuev et al. (2006), som en patientspecifik model, med én patientspecifik, dimensionsløs parameter H, der afhænger af patientens BMI. Det er ikek hos Zuev et al. (2006) vist, hvordan modellen gøres patientspecifik ift. Kun denne parameter, hvorfor vi udfører argumentationen i denne rapport. Vi foretager en matematisk undersøgelse bestående af stabilitetsanalyse og sensitivitetsanalyse. Stabilitetsanalysen deles over en primært algebraisk analyse, hvor vi undersøger ligevægtspunkter og egenværdier for Jcobimatricen, og en numerisk analyse hvor den generelle dynamik er i fokus. Vi finder 3 forskellige dynamikker for modellen, hvor patienten vil blive rask hvis H > 0.86, men patienten ved (formel) vil opleve et periodisk sygdomsforløb uden hverken helbredelse eller død som udgang, og ved H < 0.52 vil patienten dø, hvis ikke man indleder behandling. Ved at inddrage sensitivitetsanalysen finder vi endvidere, at modellen er forholdsvis præcis for H < 1, mens at ved større værdier af H, bliver modellens resultater meget usikre. Samlet kommer vi frem til, at modellen af Zuev et al. (2006) er en dækkende model til beskrivelse af sepsis, der dog kræver noget videre arbejde, før den kan implementeres. Vi anbefaler således, at den dels sættes op imod væsentlig mere data, og at den dels bliver underlagt en mere biologisk undersøgelse. Vores analyser giver endvidere anledning til en diskussion om, hvorvidt det er hensigtsmæssigt at lave en model, hvor man har én parameter, der er patientspecifik. Denne diskussion bliver yderligere relevant, da denne parameter også er en bifurkationsparameter, og er den parameter, de variable har størst sensitivitet over for. I artiklen af Zuev et al. (2006) bliver H koblet med patientens alder, lungekapacitet mv., hvilket vi finder noget kritisabelt. Vi foreslår også en udvidelse af modellen, så den omfatter behandling med antibiotika. Afslutningsvis fremkommer vi med forslag til implementering, der dog må vente til efter modellen er bedre valideret.

This report investigates a matemathical model for the severe blood poisoning sepsis. The model is developed by Zuev et al. (2006) as a patient specific model with one patient specific, dimensionless parameter, H, which is dependent of the patients BMI. In the paper by Zuev et al. (2006) it is not shown how the model is actually made patient specific by means of only one parameter, which is why the argument is made in the report. We perform an investigation consisting of stability analysis and sensitivity analysis. The stability analysis consists of a primarily algebraic analysis, where steady states and eigenvalues of the Jacobian matrix are investigated, and a numerical analysis where we focus on the general dynamics of the model. We find 3 different dynamics for the model where the patient recovers if H >0.86, while the patients at (XXX) will experience a periodic course of disease without either recovery nor death as an outcome. Finally patients with H < 0.52 will certainly die if treatment is not initiated. By including the sensitivity analysis, we furthermore find, that the model is somewhat accurate for H < 1, but at larger values of H, the output of the model are related with great incertainty. In total we conclude that the model by Zuev et al. (2006) is sufficient to describe sepsis. It will, however, demand further work before it can be implemented. We recommend significantly more empiric evidence and a more biological ivestigation. Our analyses recommend a discussion about whether it is suitable to make a model with only one patient specific parameter. This discussion gain further relevance since this parameter is also a bifurcation parameter, and the parameter which the variables ahs the highest sensitivity too. In the paper by Zuev et al. (2006), H is proposed to be dependent of variuos things; age, lung capacity etc. By means we find criticizable. We also suggest an expansion of the model, to incorporate antibiotic treatments. Finally we give a suggestion to implementation - which will need to wait for further validation of the model to take place.

Dette projekt beskæftiger sig med matematisk modellering af den såkaldte Hypothalamic-pituitary-adrenal-axis (HPA-aksen). Vi tager udgangspunkt i en artikel af Jelic et al. Fra 2005, som beskæftiger sig med et to-dimensionalt, ikke-lineært differentialligningssystem. Vi ønsker at sammenholde denne model med data fra Carroll et al. 2007, for at belyse hvor godt den kan matche disse. Derefter vil vi med udgangspunkt i Jelic et al.´s model og Carroll et al.´s data, forsøge at optimere os frem til mere passende parameterværdier. Slutteligt vil vi studere en udvidet udgave af modellen for at bestemme hvilke implikationer det har for modellen dynamik, at Jelic et al. disponerer som de gør. Undervejs vil vi forholde og til, hvordan Jelic et al. Disponerer i forhold til opstillingen af modellen. Vi vil desuden indføre en tidsafhængig variation af det cortikotropinfrigivende hormon for at undersøge modellens begrænsninger. Vi konkluderer, at Jelic et al.´s model ikke passer til data og at vi kan optimere os frem til mere pasesnde parameterværdier. Vi konkluderer desuden, at det er forbundet med komplikationer, at de disponerer som de gør.

This project is concerned with mathematical modeling of the so called Hypothalamic-pituitary-adrenal-axis (HPA-axis). It is based upon an article by Jelic et al. From 2005, which is focused on a two dimensional system of non-linear differential equations. We will compare the model to data obtained from Carroll et al. 2007 in order to determine how well it resembles these data. Thereafter we will try to optimize the model by fitting it to the data we have extracted from Carroll et al. Finally we weill examine an extended version of the model, to shed som light on the implications of Jelic et al.´s choices regarding the model. We will consider the ideas and thoughts on which Jelic et al. Base their model. Furthermore we will implement a time dependent variation of the corticotropin releasing hormone to seek the boundaries of the model. We conclude that the model is incomparable to the data, and that we sere able to obtain parameters that yielded a better fit. As to the implications of their choices we find that matters are complicated.

I dette projekt studerer jeg fordelene og ulemperne ved brugen af Spectral-metoder til løsningen af Niver-Stokes-ligninger. Som case anvendes dynamik og dannelse af røgringe. Jeg konkluderer at spectral-metoderne er for afhængige af gode betingelser. Den opstillede model er derfor ikke specielt egnet til simulering af røgringe

In this project I study the advantages and the disadvantage by the use of Spectral-methods for the solution of the Navier-Stokes-equations. My case will be the formation and dynamics of rings of smoke. I conclude that the Spectral-methods are too dependent on good conditions. And therefore my model is not particularly suitable for the simulation of rings of smoke

I denne rapport har jeg redegjort for modelleringen af skæbnen af oliestoffet pyren i et fysisk simuleret kystnært miljø indeholdende sediment (havbund), overliggende vand og alger. Jeg har gennemført et biologisk forsøg i laboratorie, hvor jeg har simuleret et kystnært miljøe, forurenet med pyren. Via dette forsøg har jeg opnået et datamateriale, hvilket har muliggjort en sammenligning af modeloutput med observerede værdier. Det helt specielle ved det fysisk simulerede system er tilstedeværelsen af alger, hvilke jeg har haft en forventning om ville have indflydelse på skæbnen af pyren, idet tilstedeværelsen af algerne blandt andet ville højne en koblet effekt mellem det overliggende vand og sedimentet, over for skæbnen af pyren. Modellen er en partiel differentialligning, der beskriver koncentrationen af pyren i et ilkårligt punkt til en vilkårlig tid. Modellen bygger i særdeleshed på diffusionsligningen, men også nedbrydningen af pyren er indbygget. Modellen består yderligere af 3 (4) parameter, hvilke der er bestemt værdier for. Denne fastlæggelse af værdierne er foretaget udfra at minimere fejlen i forhold til de observedrede værdier. Jeg har i øvrigt foretaget en kritisk vurdering af parameterværdierne. Endeligt er modellens svagheder og styrker vurderet med henblik på at vurdere modellens egnethed som fundament for en udbygning i form af at inkludere modellering af pyrens nedbrydningsprodukter. Jeg har konkluderet at, i kraft af, at modeloutput i høj grad fitter de observerede værdier, kombineret med modellens enkelhed og begrænsede antagelser, er den egnet til en videre udbygning i form af, at inkludere modelleringen af skæbnen af pyrens nedbrydningsprodukter

Projektet handler om at undersøge dynamikken i PCR3BP, og undersøge hvorvidt der eksisterer baner hvor man uden påvirkninger udefra kan bevæge sig imellem forskellige omløb om Solen og Jupiter. Vi tager udgangspunkt i en bestemt type af tre-legemeproblem der har den begrænsning at én af masserne ikke påvirker de to andre. Modellen kaldes "Planar Circular Restriced Three Body Problem" og vi beskriver i projektet hvordan bevægelsesligningerne udledes fra de simplere 2-legemeproblem. Kernen i rapporten er analysen af denne model. Ved at undersøge modellens kritiske punkter, kaldet Lagrangepunkter, er vi i stand til at begrænse systemet på en sådan måde at vi kan indentificere homokline og heterokline baner. Eksistensen af disse baner giver et værktøj til at beskrive hvordan banerne opfører sig i systemet. Ved at ligge et passende Pointcaré-snit kan denne globale banestruktur beskrives ved hjælp af "horseshoe" maps og symbolsk dynamik. Det viser sig at disse globale banestrukturer tillader at man kan planlægge en rute, givet ved de homokline baner og den heterokline forbindelse, som så vil eksistere under de rette startbetingelser.

This paper concerns trying to understand the dynamics of the PCR3BP. Furthermore, we wish to establish if orbits, without any external force, can move between different revolutions around the Sun and Jupiter. We begin by examining a certain type of the three-body problem, which is limited by the fact that one of the masses does not affect the other two. This model is called the "Planar Circular Restricted Three Body Problem" and in this project we derive the equations of motion from the simpler two-body problem. The emphasis of this paper is the analysis of this very model. By examining the unstable Lagrange points, we limit the system, enabling the identification of homoclinic orbits and heteroclinic connections. The existence of theese orbits further enables us to describe the behaviour of orbits in this system. Selecting a suitable Pointcaré map allows us to describe the global orbit structure using horseshoe maps and symbolic dynamics. We conclude that theese global orbit structures allows us to plan a route, using the homoclinic orbits and heteroclinic connections, which will exist at the right initial conditions.

Formålet med dette projekt er at undersøge, hvilken betydning kroppens regulering af blodkarrernes compliancer har for synkope ved vippe-forsøg. Dette gøres ved at opstille en compartmentmodel for blodkredsløbet og opstille modeller for tyngdekraftens påvirkning, regulering af blodkarrernes compliancer og udsivningen af væske fra blodet til de omgivende væv. Modellens ligninger løses numerisk ved ODE15s i MatLab. Det konkluderes, at kroppens begrænsninger i reguleringen af vernernes compliancer kan være årsagen til synkope ved vippe-forsøg.

The purpose of this project is to examine what influence the regulation of blood vessel compliance has on syncope during tilt experiments. This is accomplished by introducing a compartment-model of the circulation and introducing models of the effect of gravity, regulation of blood vessel compliance and seepage af fluid from the blood to the surrounding tissues. Teh equations of the model are solved numerically with ODE15s in MatLab. It is concluded that the limitation of regulation of vein compliance may be the cause of syncope during tilt experiments.

I dette projekt beskæftiger vi os med hvilken betydning smittespredning udenfor sygehuse har for udbredelsen af Methicillinresistente Staphylococcus Aureus (MRSA) med udgangspunkt i et epidemiforløb i Vejle Amt i årene 2003-2005. Vi benytter deterministisk og stokastisk simulering af en kompartmentmodel, hvor populationen deles i tre lag; sygehus, personer med høj indlæggelsesfrekvens og personer med lav indlæggelsesfrekvens. Personer deles derudover i smittede og ikke-smittede, samt et isolationskompartment for sygehuset. Herudover udleder vi et (formel) der tager højde for isolationens indflydelse på smittespredningen. Vi har erhvervet informationer om MRSA-patienters indlæggelse i isolation i Vejle Amt i samarbejde med Statens Serumsinstitut (SSI). Med disse har vi lavet deterministiske og stokastiske kørsler med realistiske værdier af (formel), hvor vi har kunnet beskrive prævalensudviklingen i Vejle Amt, med og uden tilføjelse af samfundssmitte i modellen. Vi kan hverken afkræfte eller bekræfte at samfundssmitte er årsagen til sygdomsudbrud af MRSA i Vejle i årene 2003-2006. Sygehussmitte alene kunne beskrive sygdomsudbruddet eller som en kombination af sygehussmitte og samfundssmitte.

I dette speciale fremstiller vi en befolkningsprognose for kvinder i Danmark 50 år frem i tiden. Dette går vi ved at opstille en matematisk model. Den matematiske model består af en regnskabsmodel og af separate delmodeller for fertilitet, dødsfrekvens, udvandringsfrekvens og indvandringsantal. Der tages et statistisk udgangspunkt under opstillingen af de enkelte delmodeller, og vi lægger stor vægt på at kokalisere og beskrive mulige kilder til usikkerhed. Den resulterende prognose viser både usikkerheden på det samlede befolkningstal og på befolkningens størrelse opdelt på 1-åars-aldersklasser 50 år frem i tiden. Resultaterne viser, at usikkerheden vokser kraftigt gennem perioden. På den baggrund konkluderes det, at prognosens værdi som beslutningsgrundlag er begrænset efter 30 år, og forsvindende efter 50 år. Den mest sikre mekanisme i befolkningsprognosen er dødsfald og prognosens største kilde til usikkerhde kan tilskrives fertilitet. Den største svaghed er beskrivelsen af migration, der bygger på ad hoc-antagelser. Derfor er prognosen for de ældste aldersklasser meningsfuld i hele tidshorisonten, mens prognosen for de yngste efter 30 år ikke er særlig anvendelig. Prognosens resultater sammenlignes med tilsvarende befolkningsfremskrivninger fra DREAM og Danmarks Statistik. Deres forventede forløb stemmer godt overens med vores prognoses mediankurver. Da prognosen viser, at usikkerheden vokser kraftigt gennem tidsperioden konkluderes, at befolkningsfremskrivninger med en tidshorisont på mere end 5 til 10 år ikke er meningsfulde uden usikkerhedsbetragtninger.

In this thesis we present a population forecast for women in Denmark 50 years from now. We use mathematical modeling to produce the forecast. The mathematical model consists of an accounting model and separate submodels for fertility, death frequency, emigration frequency and number of immigrants. In the setup of each submodel we use statistical methods, and we focus on locating and describing possible soures of uncertainty. The resulting forecast shows both the uncertainty of the size of the total population and the uncertainty of one-year age classes 50 years from now. The uncertainty grows quickly during the perod. We therefore conclude that the value of the forecast as a basis for making decisions is limited after 30 yeras and almost non-existent after 50 years. The most certain mechanism of the population forecast is death, and the greatest source of uncertainty is linked to fertility. The strongest weakness of the forecast is the description of migration, which is based on ad hoc-assumptions. However, the forecast of the oldest age-groups makes sense throughout the entire time horizon, whereas the forecast of the youngest age-gruoups loses its applicability after 30 years. The results of the forecast are compared with corresponding population projections from DREAM and Statistics Denmark. Their expected projections are in accordance with the median curves of our forecast. Since the forecast shows that the uncertainty grows rapidly throughout the period, we conclude that the uncertainty grows rapidly throughout the period, we conclude that population projections are of limited value on time durations more than 5 to 10 years, without considerations of uncertainty.

Specialet har til formål at undersøge gymnasieelevers kendskab og forståelse af hhv. de naturlige, de hele, de rationale, de irrationale og de reelle tal og disse mængders forhold til hinanden. Dette er undersøgtigennem en spørgeskemaundersøgelse omfattende 157 elever i hhv. 1.g med C-niveau, 1. g med A-niveau, 3. g med B-niveau og 3. g med A-niveau. Spørgeskemaet omhandler elevernes forståelse af ækvivalens af talrepræsentationer, karakteriseriger af talmængderne, deres kendskab til orden, tæthed og algebraiske egenskaber. Enkelte elever og deres lærere har efterfølgende deltaget i et opfølgende interview. Det konkluderes at eleverne i 1. g ikke har noget stort kendskab til talmængderne, dog er eleverne med A-niveau bedre end dem med C-niveau. Eleverne i 3. g med B-niveau ligger på niveau med 1. g klaserne, mens 3. g med A-niveau ligger betydeligt bedre end de andre, men stadigvæk er der en del elever som har store mangler i deres talforståelse. Især de rationale og irrationale tal har eleverne svært ved og deres kendskab til talområdernes hierarki er meget mangelfuldt. Desuden giver brøker med store tal i tæller eller nævner anledning til problemer.

The purpose of this master´s thesis is to investigate the knowledge and understanding of the natural numbers, the integers, the rational numbers, the irrational numbers and real numbers of high school students. The study is based on a questionnaire handed out to 157 students in respectively 1.g C-level, 1.g A-level, 3.g B-level and 3.g A-level. The questionnaire deals with equivalence of number representation, characteristics of the sets, students´ knowledge of order, density and algebraic properties. A few students were handpicked along with their teachers to participate in follow-up interviews. It is concluded that the students in 1.g do not have a comprehensive understanding of number sets, but the group at A-level does perform better than their C-level counterparts. The group of 3.g B-level students shows mixed results and are on average at the same level as the students in 1.g, while the 3.g group with A-level is considerably better than the others, but still, some of the students show a lack of understanding for the number sets. The students particularly have difficulty at understanding rational and irrational numbers, and they lack knowledge of the hierarchy of the number sets. Furthermore the students show uncertainty in cases where fractions contain a large nominator or denominator.

I denne specialrapport undersøges hypotesen om, at vasomotionsfrekvensen i menneskets nethindearterioler ændres ved diabetes, og at denne ændring kan føre til ødemdannelse i nethindevævet. Data af diametre af nethindearterioler fra diabetikere og non-diabetikere analyseres. Data er indsamlet af øjenlæger fra Århus Universitetshospital vha. en Retinal Vessel Analyzer. Undersøgelsen viser, at diabetikere oftere udviser manglende vasomotionsfrekvens samt at diabetikere har en lavere vasomotionsfrekvens (2 cpm) end non-diabetikere (3,5 cpm), men det vil dog kræve en større datamængde at kunne fastslå dette. Der opstilles en compartmentmodel af systemet for at undersøge om en ændret vasomotionsfrekvens kan lede til ødemdannelse i form af øget væsketilførsel til vævet. Den matematiske model består af 7 koblede ordinære førsteordens differentialligninger med 7 variable og 29 parametre. Vasomotionen modelleres ved at benytte en CICR-model for de glatte muskelceller i arteriolevæggen, hvor den intracellulære calciumkoncentration kobles lineært til arteriolens Youngs modul. Der foretages følsomhedsanalyse af modellen, og modellen fittes til data for at bestemme værdien af de parametre, der er specielt vigtige. Med et fastlagt parametersæt foretages yderligre analyser, hvor det vises, at modellen kan reduceres til 6 differentialligninger uden efterfølgende ændringer i løsninger. Ved en frakobling af CICR-modellen og be beskrivelse af vasomotion vha. af en sinus-funktion vises det, at væsketilførslen til vævet øges ved lavere vasomotionsfrekvens. Der konkluderes, at en formindsket vasomotionsfrekvens, som ses hos diabetikere, kan give anledning til øget vævsvæskevolumen, og der menes derfor at være anledning til nærmere undersøgelser af denne model.

In this master´s thesis a hypothesis that the vasomotion frequency in the human retina changes with diabetes, and that this change causes oedema, is under investigation. Data of diameters of retinal arterioles from diabetics and non-diabetics are analyzed. The data are collected by ophthalmologists from Århus University Hospital with a Retinal Vessel Analyzer. It is shown that diabetics more often than non-diabetics show a lack of vasomotion and that the vasomotion frequency of diabetics (2 cpm) is lower than of non-diabetics (3.5 cpm), but a larger amount of data is needed for the study to be conclusive. A compartment model of the system is developed to study if changes in vasomotion frequency can lead to oedema, regarded as an increased amount of fluid transport to the tissue. The mathematical model contains 7 coupled ordinary first order differential equations with 7 variables and 29 parameters. The vasomtoion is modelled by using a CICR model for the calcium concentration in arteriolar smooth muscle cells, where the intra cellular calcium concentration is connected linearly to the arteriolar Youngs modulus. A sensitivity analyses is conducted and the model is fitted to data to find the values of the most significant parameters. Further analyses are conducted with a fixed set of parameters, resulting in a reduced model consisting of six equations, which leaves the results unaltered. Decoupling the CICR model and modelling the vasomotion with a sine function results in an increased fluid inflow to the tissue when decresing the vasomotion frequency. It is concluded that a reduced vasomotion frequency, connected with diabetics, causes an increase in the tissue fluid, and therefore a further study of this model is suggested.

Denne rapport handler om et eksperimentelt studie i kontrol af et drevet, dæmpet pendul. Vi har tilføjet en lineær kontrolfunktion til ligningen for pendulet. Ved at lave og bruge et program ("pendulspillet") til simulation af pendulet får vi indsigt i hvordan denne kontrolfunktion påvirker pendulet. Ved hjælp af eksperimenter konstruerer vi en kontrolmetode, der kan stabilisere banerne i en omegn af et ustabilt fixpunkt. Vi foreslår, at der laves analytiske undersøgelser af, hvorfor vores metode virker og hvordan den kan forbedres. Vi beskriver nogle undersøgelser, som, vi mener, kan give teoretisk grundlag for forbedringer af kontrolmetodens energieffektivietet og stabiliseringshastighed. Desuden har vi sammenlignet vores metode med OGY-metoden og konkluderet, at denne metode ikke kunne anvendes på vores system.

This paper describes an experimental study in control of a forced damped pendulum. We add a linear control parameter to the equation of the pendulum and by creating and using a pendulum simulation program ("pendulspillet"), we gain knowledge about how this parameter affects the motion o the pendulum. Experimentally we obtain a control algorithm that stabilizes a set of orbits, into a small neighborhood of a saddle. We propose an analytical investigation of the reulting direction and magnitude of the control, by analysis of the stablre and unstable manifolds, since we believe this would contribute to improvements of stabilization speed and energy comsumption of the control. Furthermore we conclude that, although this is a linear control problem, The OGY-method does not work for this particular kind of control.

I denne rapport behandles konceptet overfladesæpnding gennem to adskilte modeller, som opererer med henholdsvis skarpe og diffuse grænseflader. Formålet med rapporten er at finde mekanismer i grænseflader til at flytte en væskedråbe i en mkrofluid flow-kanal ved ændringer i tre-fase spreading koefficienten. De to grænseflademodeller behandles i denne kontekst, styrker og svagheder af de to typer grænseflademodeller diskuteres, i særdeleshed angående problemerne ved en tynd væskefilm imellem to sameksisterende bulkfaser, og det demonstreres, at den skarpe grænseflademodel succesfuldt kan reduceres til den diffuse grænseflademodel. En model for en termokapillar pumpe til at flytte væskedråber præsenteres i sammenhæng med den skarpe grænseflademodel og det diskuteres hvilke ændringer en diffus grænseflade vil betyde for denne model. Desuden overvejes kort også andre strategier til at flytte væskedråber. Rapporten er skrevet på engelsk.

Interfaces and interfacial tension are interesting in many ways, one of the more peculiar things, which is unlike other things in science, is the thermodynamical dependence on the shape af the interface. When we consider a thermodynamical system of two or more phases the thermodynamical equilibrium is determined by the shape of the interface between the phases. The study of this interfacial shape is a perfect application for differential geometry since the interfaces can always be described with smooth curves with only countably many (often zero) points of discontinuity. The differentiability of these curves is very important to the study of interfaces and has the interesting application that the pressure difference across the interface is proportional to the normal curvature of the interface. In this respect, interfacial phenomena is a study which can be read about in a math book, it is a direct application of differential geometry. This makes interfacial phenomena interesting and special compared to other scientific fields of study. The idea in this project is to map out the characteristics of interfaces, interfacial tension, and their applications. The project is driven by the interest in these strange phenomena and seek to uncover how they should be described. Finally one should note that the authors of this report are at different stages of their education and consequently the status of this report differ among the authors. For Anatol this report is writen as part of the second module, and as such it is supposed to be a mathematical modelling project. For Jesper and Jon on the other hand, this project is their final mathematical project.

Hvordan kommer man fra en tiltrækkende periodisk bane til en anden i faserummet for et drevet dæmpet pendul med et minimalt energiforbrug, når man tager hensyn til det fysiske systems begrænsninger - herunder at motoren kun kan tilføre et begrænset kraftmoment og at vi vælger at baneskiftet højst må tage 10 perioder.

Dette projekt tager udgangspunkt i en forsøgsopstilling fra RISØ til at teste polymermembraner og ders egnethed som aktuator i en heart assist device. På baggrund af en beskrivelse af forsøgsopstilling og polymer-membranes funktion, samt begyndelsesbetingelser har vi opstillet to matematiske modeller. Den første model, som er udledt ved opstilling af overordnede fysiske betragtninger, udbygges ved at inkludere inertikræfter. De matematiske modeller skal anvendes til at udtale sig om en given polymer-membrans egnethed. Ved en kvalitativ sammenligning af modellerne med et fysisk forsøg har vi evalueret modellerne og kan samtidig besvare vores problemformulering: Kun den model som inkluderer inertikræfter giver en kvalitativ brugbar model, men med for mange antagelser er modellen ikke brugbar til evaluering af en polymer-membrans egnethed i en heart assist device.

From an experiment setup carried out at the danish polymer centre (RISØ) this written project is based on tests with polymer films and their capability as an actuator for a heart assist device. With a description of the experimental setup, initial conditions and the function of the polymer films, it is possible to establish two mathematical models. The first one is derived mainly from a general physical view and is included in the second one, which in addition contains the inertia forces of the fluid. These mathematical models will help us to determine to which extent a specific fil material can be used in a heart assist device. A qualitative comparison of the two models is carried out from a physical experiment, and this evaluation of the models provides us with a reasonable answer to our target/key question: It is only the model which include the inertia forces that yields a useful model - qualitatively. Although many assumptions and simplifications will make the model too rough.

Denne rapport præsenterer en undersøgelse af mulighederne for et samarbejde mellem matematik og fysik i gymnasiale sammenhænge. Rapporten tager udgangspunkt i Realistic Mathematics Education (RME), som er en alternativ måde at undervise på i matematik, der er grundlagt af hollænderen Hans Freudenthal. I rapporten er idegrundlaget bag RME beskrevet og to undervisningsforløb er udviklet med udgangspunkt i teorien. Endvidere er amerikaneren Robert J. Sternbergs beskrivelse af hvorledes forskellige mennesker løser opgaver gennemgået. Med udgangspunkt i Sternbergs tænkestile, giver rapporten nogle bud på hvorledes samarbejde mellem matematik og fysik, åbner mulighed for at tilrettelægge undervisningen således, at så mange elever som muligt får glæde af undervisningen. Rapporten inddrager kompetencebegrebet i matematik beskrevet med udgangspunkt i KOM-rapporten. Gennem en sammenligning med en kompetencebeskrivelse for fysik, identificeres mulige indsatsområder for et kompetencebaseret samarbejde mellem fagene. Rapporten præsenterer to undervisningsforløb, som med udgangspunkt i den behandlede teori, viser en række muligheder for, at matematikundervisningen kan tilrettelægges i samarbejde med fysik på en sådan måde, at de forskellige elevtyper får styrket deres matematiske kompetencer gennem samarbejdet.

Udvikling af sygdomsmodeller udgør et vigtigt forskningsfelt inden for matematisk populationsbiologi. Nogel af de mest anvendte modeller er de klassiske SIR- og SEIR-modeller, der beskriver populationsdynamikken under en given sygdom. I denne rapport beskrives en udvidelse af SIR-modellen til en TSIR-model, der inkorporerer tidsrækker, og modellen anvendes på et datasæt bestående af fødsler og mæslingetilfælde for Københavns Kommune i tidsperioden 1900-1967. Der rekonstrueres en gruppe af modtagelige individer udfra antallet af fødsler ved statistisk regressionsmodellering og antallet af mæslingetilfælde reproduceres ud fra den rekonstruerede modtagelige gruppe. Det viser sig - grundet mangel på stationaritet i den modtagelige gruppe - at modellen ikke i tilstrækkelig grad er i stand til at reproducere mæslingtilfældene henover hele den modellerede periode. Det er imidlertid muligt til en vis grad at opnå en reproduktion af dynamikken i mæslingetilfældene når der udvælges et delinterval, at den oprindelige periode, hvor datasættet udviser relativ høj stationaritet i den modtagelige gruppe. Det konkluderes dermed, at modellens anvendelighed forudsætter, at den anvendes på et datasæt, der udviser høj stationaritet i den modtagelige gruppe i hele den periode, der modelleres.

Developing epidemiological models extend an important scientitic field of research within mathematical populations biology. Some of the most highly applied models are the classical SIR- and SEIR-models that descripe the dynamical pattern in a population exposed to a given disease. This paper contains an expansion of the SIR-model to a TSIR-model that incorporates timeseries, and the model is used on a set of data consisting of births and easles infected individuals in the years 1900-1967 in Copenhagen county. The group of susceptibles is reconstructed from the number of births by statistical regression modelling, and the amount of measles infected individuals is reproduced from the reconstructed susceptibles. Due to lack of stationarity in the susceptible group it turns out that the model is not adequate in its way of reproducing measles infected individuals in the original timeperiod. Meanwhile it is to som extend possible to gain a reproduction of the measles infected individuals when the model is applied to an appropriate time interval where the susceptibles exposes a relatively great stationarity. Thereby it is concluded that the useability of the model presumes that it is employed on a set of data that exposes a great deal of stationarity in the susceptible group in the entire modelled period.

I denne rapport opstilles og testes en simpel matematisk model for et fysisk system bestående af en gummislange nedsænket i et kar med vand. Forsøget udføres ikke i virkeligheden, men har en klar analogi til tidligere arbejder. Der pumpes periodisk på et afgrænset asymmetrisk sted på slangen. Rapporten har to overordnede formål: At opstille en model der undersøger, om der opstår et middelflow, samt undersøge hvilke mekanismer, der er ansvarlige for dette middelflow. Modellen er opstillet efter kompartmentprincippet og består af 11 koblede 1. ordens differentialligninger. Ligningssystemet er opstillet på baggrund af en betragtning om massebevarelse samt Newtons 2. lov. I grænsen, når antallet kompartments går mod uendelig, tilnærmer differentialligningerne kontinuitetsligningen og den lineariserede Euler-ligning i én dimension med et friktionsled. I den færdige model ingår inertans, resistans og kompliance, som værende afhængige af radius i slangen. Disse tre størrelser menes at bidrage til middelflowet, og vi ønsker at undersøge fra hvilken, dette bidrag er størst. Ligningerne i modellen løses numerisk i MatLab med henblik på, at påvise et middelflow, hvorefter inertansen, resistansen og kompliancenholdes parvis konstante. Ændringer af frekvensen hvormed der pumpes medfører ændringer af flowet i slangen. Rapporten konkluderer, at der forekommer et frekvensafhængigt middelflow, og at det hovedsageligt fremkommer på baggrund af inertansen.

In this report a mathematical model describing a physical system consisting of a rubber tube placed in a fluidfilled tank is formulated and analysed. This experiment is not subjected to empirical inquiry, but our experiment has clear analogy to previous works. A pump is compressing the tube periodically at a place of asymmetry. The report has two main purposes: To formulate a model that investigates if a mean flow is existent, and to find out which mechanisms are responsible for creating a mean flow. The model is formulated in accordance to the compartment principle and consists of 11 1st order interdependent differential equations. The equations are formulated according to conservation of mass and Newtons 2. law. When the size of each compartment approaches zero the differential equations approksimates the equation of continuity and the linearized Euler equation in one dimension with a frictional term. In the final model inertans, resistance and compliance varies with the radius of the tube. These three terms are thought to contribute to the mean flow and we wish to find out which of the three contributes the most. The equations in the model are solved numerically in MatLab to establish a mean flow. Afterwards the inertans, resistance and compliance are kept constant in pairs. The report concludes that it is possible to create a frequency dependent mean flow, and that the inertans contributes primarily to the frequency dependent mean flow.

Denne rapport omhandler simuleringen af det to-komponente flow i en lavalampe. Vi bruger Levelset-metoden til at håndtere den frie rand og til at bestemme overfladespændingen i Navier-Stokes ligninger. Vi beskriver hvordan levelset-funktionen kan implementeres i Femlab, hvor simuleringerne foregår ved finite elements. Vi konkluderer, at levelset-funktionen egner sig til at fremskrive den dynamiske rends position og krumning. I den brugte implementation fordeler Levelset-funktionen overfladespændingskrafterne i et bælte omkring grænsefladen. Da funktionens dynamik ikke sikrer bæltet konstant bredde, vil ovefladespændingeb virke på en ufysisk måde de steder, hvor levelset-funktionen bliver kraftigt deformeret.

In the report at hand the two-component flow af a lava-lamp is simulated. The level set approach is being used to handle the free surface and to compute the surface tension to be used in Navier-Stokes equation. The implementation of the level set function in the modules of Femlab, a finite elemts based program, is described. We conclude that the level set approach os well fit to iterate the position of the dynamic surface and to compute its curvature. In the present imolemantation the level set function distributes the surface forces over a broad band in both sides of the free surface. However, the dynamics if the level set function does not secure constant width of the band, which give rise to nonphysical surface forces in i regions where the level set function is being seriously deformed.

O rapporten bahandles og udfoldes den model, der står beskrevet i (thygesen, Farnsworth, Andersen and Beyer, submitted), med det formål at undersøge, om modellen er fyldestgørende i forhold til sit genstandsområde. Modellen kobler estimering af optimal livshistorie med størelsesspektre for organismer i marine økosamfund. Det klargøres, hvilke antagelser og hvilken matematisering, der ligger til grund for modellens resultat. Modellens resultat er, at et individ vil vokse, indtil den optimale gydemasse nås, herefter vil al overskudsenergi anvendes til reproduktion. Skiftet bestemmes af fitness W (m) og vil ske, når W1(m) = 1. Derefter generaliseres modellen o to omgange: først udvides det størrelsesinterval, et individ præderer på, dernæst indføres endnu et fødespektrum. Begge udvidelser er valgt ud fra biologiske argumenter. Udvidelserne medfører en besværliggørelse af estimering af optimal gydemasse som en del af livshistorien - denne kan dog findes numerisk. Det konkluderes, at midellen fyldestgørende beskriver sit gyldighesdområde, når dette definers i jomfruelige marine økosystemer. Defineres genstandsomådet til at være ændringer i størrelsesspektre som følge af ydre omstændigheder f.eks. fiskeri, konkluderes modellen at være uhensigtsmæssig.

I dette projekt blev en stokastisk model for en viskøs væske undersøgt. Modellen er en partikelsystem model, hvis dynamik kan beskrives ved en tidskontinuert Markovproces med positionsafhængige overgangssandsynligheder. Monte Carlo simuleringer har vist, at modellenudviser stort set alle generelle karakteristika, der kendes fra fænomenologien af viskøse væsker. Formålet med undersøgelsen var dels at opnå en større forståelse af de observerede egenskaber for modellen, dels at udlede en analytisk metode til at bestemme diffusionsegenskaberne. Udgangspunktet for undersøgelsen var en artikel (Spohn, 1990), hvor en variationsformel for selvdiffusionsmatricen for et partikelsystem med Kawasakidynamik udledes. Det er her vist, at den undersøgte model opfylder alle betingelser på nær en for gyldigheden af denne variationsformel , hvor det kræves, at alle partikler har samme hoprater. En modifikation af modellen foreslås, hvor alle partikler tildeles en middelhoprate, mens testpartiklen beholder de positionsafhængige hoprater.

Denne rapport indeholder projektarbejdet "Komparativ analyse af fiskepopulations modeller" og er en gennemgang af de to modeller for fiskepopulationer opstillet af Thygesen et. Al (2004) - Model 1 og Kozlowski & Teriokhin (1999) - Model 2. Rapporten består af en gennemgang af de to modellers grundlag med hovedvægt lagt på det matematiske grundlag, og resultaterne som præsenteret i de to ovennævnte artikler bliver verificeret. Desuden peger vi på specielle udvidelsesmuligheder og udfører en af mulighederne - fiskeri påvirkning. Endelig foretager vi en komparativ analyse, hvor vi sammenligner de to modeller og om muligt bedømmer hvilken af dem der bedst opfylder valgte succeskriterier. Denne rapport viser vi at Model 1 og Model 2 er to modeller med vidt forskellige mål og teoretiske baggrunde. Model 1 er baseret på størrelses spektrum, hvor Model 2 er baseret på livshistorie for ét individ. Deres anvendelsesområder er tilsvarende forskellige. Vi har valideret det biologiske og matematiske grundlag for begge modeller. Vi fandt begge modellers grundmodel matematisk veldokumenteret og i overensstemmelse med eget formål og egne antagelser. Disse formål og antagelser bliver i rapporten diskuteret. På begge modeller har vi udført en udvidelse, der viser hvordan fiskeri vil påvirke deres beregningsresultater. Model 1 viser hvordan populationen som helhed påvirkes, selvom der kun fiskes på fisk af en størrelse. Model 2 viser hvordan gydningstidspunktet og det optimale livsforløb ændres, især hvis fiskeri sker på fisk før de er gydningsmodne. Endelig påviser vi at begge modellers vækstkurver ikke tilnærmer en Bertalanffy kurve fuldstændig, selvom det er begge modellers udtrykte mål. I rapporten kommer vi også med forslag til andre udvidelser og forslag til, hvad hver af modellerne kan bruges til i fremtidige modelleringer af fiskepopulationer.

Projektet er et matematisk modelleringsprojekt af 12 ugers varighed gennemført på RUC i forbindelse med uddannelsen "Fra civilingeniør til gymnasielærer". Uddannelsen er en forsøgsordning, og vi har deltaget på det første hold. Vores baggrund er for alles vedkommende, at vi er civilingeniører med et ønske om at få faglig kompetence til at undervise i matematik i gymnasiet. Projektet har derfor ud over den videnskabelige vinkel en bredere pædagogisk indfaldsvinkel. Vi har især forkuseret på selve processerne i det tværfaglige projektforløb. Den matematiske modellering er foretaget over emnet menneskets hjerte. Vi har foretaget en analyse af to kendte hjertemodeller med henblik på anvendelse i lægelig behandling. Den ene er en model bygget over det tidsvarierende elastancekoncept, og den anden er en model af det isolerede hjerte, den såkaldte isovolumetriske Mulier model. Vores videnskablige resultat af modelleringsarbejdet er, at begge modeller har mangler. Den tidsvarierende elastancemodel er ikke i stand til at adskille hjertets og blodkredsløbets egenskaber og kan derfor ikke give eksplicitte informationer om hjertet. Modellen er desuden vanskelig at arbejde med. Mulier modellen mangler vigtige fysiologiske egenskaber, men er til gengæld nem at arbejde med.

Matematisk modellering er traditionelt set primært forbundet til fysikken, men anvendes efterhånden indenfor en bred vifte af fagområder. Biologien er et af de områder, hvor matematikken i løbet af de seneste årtier har fået større og større betydning. Og epidemiologi er et eksempel på sådan et område indenfor biologien/lægevidenskaben, hvor matematisk modellering har fundet stor anvendelse. I fysikken vil de matematiske sammenhænge typisk verificeres med stor nøjagtighed gennem kontrollerede eksperimenter. Denne tilgang er ofte slet ikke mulig indenfor andre fagområder så som epidemiologi, hvor man arbejder med åbne systemer, som kan være meget vanskelige at afgrænse. De situationer, man ønske at beskrive, er særdeles komplicerede, og det tilgængelige datamateriale er typisk for spinkelt til at tillade en rimelig verifikation. Det er ofte slet ikke muligt at opnå bedre data, da der kun findes én udgave af den befolkning eller befolkningsgruppe, der er udsat for en epidemi, så "eksperimentet" kan ikke gentages. Og idet befolkningsstrukturen er under stadig forandring, og da man ofte vil gribe til forskellige regulerende indgreb, når der opstår en epidemi, vil man heller ikke kunne opnå lange tidsserier. Matematiske modeller indenfor epidemiologi har derfor karakter af et tankeeksperiment eller en teoretisk referenceramme, hvilket stiller store krav til modelbyggerens overblik og forståelse. Et spændende eksempel på matematisk modellering indenfor epidemiologi, hvor de ovennævnte problemer i forbindelse med modelleringen var meget centrale, er modelleringen af HIV/AIDS epidemierne i 1980`erne. I starten af 1980`erne havde man erkendt, at der var tale om en HIV/AIDS epidemi i visse befolkningsgrujpper i de vestlige lande, og omkring midt firserne fandt man ud af, at alle befolkningsgrupper var angrebet i visse lande i Afrika. Frygten for epidemiernes konsekvenser og ønsket om at kontrollere/begrænse disse gav anledning til, at et stort antal af forskere begyndte at opstille matematiske modeller. Formålet var at komme med forudsigelser om en mulig udvikling af disse epidemier, hvorved beslutningstagere kunne foranstalte fornuftige indgreb for at begrænse konsekvenserne. I dag cirka 20 år efter er det muligt at evaluere disse forudsigelser samt analysere modellerne og modelbyggernes tilgange, hvilket er omdrejningspunktet for dette projekt.

I projektet laves en matematisk analyse af GTAP - en økonomisk model til kvantitative analyser inden for internationale økonomiske genstandsfelter. Ligningerne for GTAP, samt de nødvendige matematiske og økonomiske genstandsfelter, opstilles. Der gennemgås en numerisk løsningsmetode til begyndelsesværdiproblemet for GTAP. På baggrund af økonomiske og matematiske antagelser lavet i opstillingen og løsningen af GTAP-modellen, laves en samlet analyse. Analysen tager udgangspunkt i den matematiske modelleringsproces, der beskrives først i projektet. I analysen konkluderes det, at de økonomiske og matematiske antagelser og deres konsekvenser er uigennmsigtige for modelbrugerne. En teoretisk vurdering af modellens validitet er derfor ikke mulig. Desuden medfører modelantagelserne at databasen fittes til ligevægt, hvilket sammen med modellens økonomiske antagelser også umuliggør en empirisk validering af modellen. Det er altså hverken muligt at validere modellen teoretisk eller empirisk, men alligevel bruges modellens resultater i den politiske beslutningsproces. Vi efterlyser derfor en bred debat om konsekvenser og usikkerheder ved brugen af modellen til kvantitative analyser.

In the project a mathematical analysis is made of GTAP - an economic model for quantitative analyses of policy issues on a global basis. The equations of GTAP are presented, together with the economical and mathematical assumptions necessary. A numerical solution to the initial value problem of GTAP is presented. A combined analysis based on the mathematical modelling process, which is described in the beginning of the project. In the analysis it is concluded that the economical and mathematical assumptions and their consequences are hidden from the model-user. A theoretical validation of the models is therfore impossible. Furthermore, the model assumptions demand that the database is fitted to equilibrium, which together with the models economical assumptions also makes an empirical validation of the model impossible. It is therefore impossible to either theoretically or empirically validate the model, yet it is still used in policy decisionmaking. We ask for a debate on the consequences and uncertainties involved with quantitative use of the model.

Digital compression and encryption has previously been a subjects of study and interest and to follow these interests, a subject close to these fields was chosen as the topic for this project. Modeling of sound was chosen as a simpler alternative to digital picture processing. For instance: Noise in sound is a one-dimensional phenomenon, following the timeline, whereas in pictures it is a two-dimensional phenomenon. But sound is still a examine the nature of sound from its simplest point o view. This is simplified to the "sense of sound", meaning our model´s ability to recognize simple constructed sounds. As other points of interest of this project, was a preliminary enquiry with the purpose of "going into business" and developing an entertaining tool in education, also known as an "edutainment" tool. These motivations lead to the following inquiry.

Dette projekt beskæftiger sig med deformationen af legemer og denne deformations betydning for, om hvorvidt et bord vil kunne vippe ved en given fabrikationsfejl af bordbenenes længder. For at undersøge dette fænomen, modelleres deformeringen af bordben og bordplade. Denne modellering bygger bl.a. på pladeligningen, der er en biharmonisk partiel differentialligning, som bruges til at modellere små deformationer af relativt tynde plader. Vi løser pladeligningen analytisk under randbetingelser for frie kanter for et kvadratisk bord med bordben placeret i hjørnerne. Dette foregår ved supperposition af løsninger, der tilfredsstiller de givne randbetingelser. Den analytiske løsning er dog kun en approksimativ løsning undtagen i bordpladens hjørner. Vi løser desuden pladeligningen numerisk for rektangulære borde, hvor bordbenene er placeret symmetrisk omkring bordpladens diagonaler. Den numeriske løsning foregår ved brug af finite element metoden. Ved at sammenligne den analystiske og numeriske løsning for kvadratiske borde med ben placeret i hjørnerne, retfærdiggøres den numeriske løsningsmetode. Ud fra de analytiske og numeriske løsninger opstilles en række stabilitetsbetingelser for, hvornår forskellige typer borde ikke er i stand til at vippe. Disse stabilitetsbetingelser afhænger, ud over bordbenenes længder, at materialekontanter såsom Poissons forhold og Youngs modul samt af bordets dimensioner. Det viser sig bl.a., at forholdet mellem sidelængderne af en rektangulær bordplade ikke har betydning for, om et bord kan vippe, når blot arealet af bordpladen holdes konstant.

In this project the topic af deformable bodies is treated and the impact, this deformation has on whether a table with a given error in leg length would be able to rock, is evaluated. For the treatment of this phenomenon the deformation of both tabletop and table legs are modelled. The models used is constructed on the basis of the plate equation, which is a biharmonic partial differential equation that is used for modelling small deformations in relatively thin plates. The plate equation is solved analytically for a square tabletop with the table legs placed in the corners using the boundary conditions for free edges. This is done by superposition of solutions satisfying the boundary conditions. The analytical solution is only an approximated solution in the interior but an exact solution in the corners. Fro tables with any given length and with the legs placed symmetrically at the diagonals of the tabletop, the plate equation is solved numerically using the finite element method. By comparing the numerical and anlytical solutions for a square plate with the legs placed in the corners the method of solving the equation numerically is validated. Using the analytical and numerical solution a number of stability criteria fo whether or not a table is going to rock, is found for different types of tables. These criteria depend on a number of factors other than the length of the table legs. Some of the factors are the material constants Poisson´s ratio and Young´s modulus. It is shown among others that the length of the edges of a rectangular table has no impact on the stability criteria as long as the area of the tabletop is constant.

Vi har opstillet en model over hjerte-kar kredsløbet ud fra energibåndsformalisme med det formål at besvare vores problemformulering "Hvordan påvirkes blodkredsløbet af vejrtrækningen?". Vi vil besvare problemformuleringen ved at se på hvordan den af vejrtrækningen resulterende trykændring påvirker blodstrømmen. Vi har benyttet os af mekaniske og elektriske love til modellen, og estimeret de i modellen indgående parametre ud fra hvilke tal der ville resulterer i tryk, strømme og volumener som svarede til eksperimentelle data. Vores model kom bl.a. til at bestå af to arterie-vene grene, som symboliserer henholdsvis brystkassen og leveren. De to grene medtager vi eftersom de påvirkes forskelligt af vejrtrækningen. Vi har medtaget vejrtrækningen som trykpåvirkning af modellens elementer, og undersøgt hvor stor en påvirkning henholdsvis vejrtrækningslængden, -dybden og grundtrykket har på kredsløbet. Grundtrykket er det minimums tryk i brystkassen, der forhindre lungerne i at kollapse. Ved at variere parametre svarende til vejrtrækningslængden, -dybden og grundtrykket, kan vi ud fra blodstrøm og blodvolumen i systemets dele, undersøge betydningen af de tre parametre. Vi har fundet at kredsløbet ikke påvirkes af vejrtrækningslængden, mens dybden og grundtrykket har en betydning for kredsløbet. Ved dybere vejrtrækninger eller større grundtryk vil man opnå en større blodstrøm gennem hjerte-kar kredsløbet.

We wish to find the answer to the following question "How is the vascular system affected by the breating process?". We have created a model of the vascular system, by using energy band formalism and wish to determine how the change in pressure will affect the blood flow. We have used mechnical and electrical laws to create the model, and estimated the parameters of the model so that we would receive values of the pressure, flow and volume close to those of experimental data. Our model consists of (among other) two artery-vein branches, wich represent the chest and liver. The model contains two branches because the chest and the liver are affected in different ways by the breathing process. The breathing process itself is accounted for in a change in pressure in the elements of the model, and we have examined how big an effect the depth of the breath, the length of the breath and the ground pressure have on the vascular system. The ground pressure is the minimum pressure in the chest, which keeps the lungs from collapsing. Byh variation of the parameters that control the depth of the breath, the length of the breath and the ground pressure, we can examine their effects on the vascular system. We have found that the length of the breath has got no effect on the blood flow, while both the depth of the breath and the ground pressure has. Deep breathing and high ground pressure result in a bigger flow.

Inden for epidemiologi er der en del undersøgelser af forholdsvis simple rumeksplicitte modeller, som udviser fænomener, som middelfeltsmodeller ikke forudsiger. Der er ikke lavet særligt mange rumeksplicitte modeller af mere komplekse systemer specielt indenfor influenzaundersøgelser. Inspireret af influenzas biologiske virkelighed studeres en Stokastisk Cellular Automat SIR model af et system, der består af to indirekte vekselvirkende tætrelaterede virusstammer, der er placeret i en mobil population. Simuleringsresultaterne viser, at individernes mobilitet og populationsdensiteten spiller en stor rolle ved afdækning af de rumlige effekter. Ved bestemte parameterindstillinger kan den ene virusstamme invadere populationen, hvor den anden virusstamme allerede er etableret. Begge virusstammer overlever ligeledes i populationen endda, selv om den ene af dem er mindre virulent end den anden og de to stammer vekselvirker stærkt - specielt, hvis individerne ikke flytter sig i strukturen. Derudover fokuseres på fænomener, der er forbundet med virusinvasion.

It is well known that the spatial patern in simple epidemic space explicit models like interacting particle systems exhibit some phenomena that are different form those, predicted by meanfield studies. However there is not so much work done on more complex ecological systems especialy like influenza strains and human population. In the following a system, that is inspirered form the influenza reality, is studied in a probabilistic Celullar Automata SIR model of two indirectly interfering through individual´s induced cross immuinity close related strains in a mobile population. This model exhibits endemical coexsistence of the strains and possible invasion of one strain in a population play a major role for the manifestation of the spatial effects. When the individuals mobility is very low and the density high enough, the least virullent strain will persist successfully together with the other strain in the population. Additionally there are emphasised som kind phenomener, that are conected with invasion of the population.

I denne specialerapport opstilles og analyseres en matematisk model for et fysisk system bestående af to væskefyldte kar forbundet med en elastisk slange. Slangen sammenpresses periodisk på et afgrænset asymmetrisk placeret stykke, hvilket resulterer i en højdeforskel mellem væsken i de to tilstødende kar. Ved at ændre frekvensen er det muligt at ændre størrelsen og fortegnet af højdeforskellen. Modellen er opstillet med det formål at undersøge, hvilke mekanismer, der er ansvarlige for dette strømningsfænomen. Modellen udgøres af et system af to partielle differentialligninger samt begyndelses- og randbetingelser. Ligningssystemet er opstillet på baggrund af en én-dimensional teori baseret på en midling af Navier-Stokes ligningerne, mens randbetingelserne bygger på den instationære Bernoulliligning. Ligningerne i modellen løses numerisk ved brug af finite differentiallignigner samt metoder og de numeriske resultater sammenholdes med analytiske resultater for svingningen af en væske i et urør. I fremskrivningen af de indre punkter i stedsdomænet sammenlignes to andenordens algoritmer, MacCormack-algoritmen og Richtmyers to-trins Lax-Wendroff-algoritme, mens karakteristikmetoden benyttes til at fremskrive randværdierne. Derudover sammenlignes løsningerne opnået med MacCormack-algoritmen i de tilfælde, hvor ligningssystemet er på henholdsvis konservativ og ikke-konservativ form. De numeriske undersøgelser viser en mindre forskel mellem resultaterne fra MacCormack- og Lax-Wendroff-algoritmen, mens der ses tegn på, at løsningen af ligningssystemet på ikke-konservativ form konvergerer langsommere end løsningen af ligningssystemet på konservativ form. Undersøgelsen af de kvalitative karakteristika ved strømningsfænomenet tager udgangspunkt i middelhøjdeforskellens frekvensafhængighed, som viser, at der forekommer to typer af punkter, hvor middelhøjdeforskellen skifter fortegn. Den ene type har karakter af resonanspunkter, hvor middelhøjdeforskellen divergerer, og frekvensen af disse punkter afhænger af systemspecifikke parametre såsom længden af den elastiske slange samt af de parametre, der bestemmer bølgehastigheden. Ved den anden type punkter ændres værdien af middelhøjdeforskellen kontinuert fra at være eksempelvis negativ til positiv og middelhøjdeforskellen er derfor nul i disse punkter og forekomsten og frekvensværdien af punkterne afhænger især af placeringen af sammenpresningen. Det har ikke været muligt at give en forklaring på de kvantitative karakteristika ved middelhøjdeforskellens frekvensafhængighed.

In this master´s thesis a mathematical model describing a physical system consisting of two fluid filled open tanks connected by an elastic tube is formulated and analysed. The tube is periodically compressed at a place of asymmetry, which results in a difference between the fluid levels of the two tanks. Alternation of the frequency changes the size and direction of the level difference. The model is formulated to investigate which mechanisms can be held responsible for the flow phenomenon. The model consists of two partial differential equations together with initial and boundary conditions. The system of equations i sformulated using a one dimensional theory derived by averaging the Navier-Stokes equations, while the boundary conditions are drived using the unsteady Bernoulli equation. The equations constituting the model are solved numerically with finite difference methods and the results are compared with analytical results for the pendulation of fluid in a U-tube. For the prediction of the interior values in the space domain tow second order numerical schemes, the MacCormack scheme and Richtmyers two-step Lax-Wendroff scheme, area used independently and the results are compared, while the method of characteristics is used for the prediction of the boundary values. Additionally, numerical solutions based on the MacCormack scheme are compared for the situations where the system of equations is formulated in conservation and non-conservation form, respectively. The numerical investigations show a little difference between the results using the MacCormack and the Lax-Wendroff scheme, while the numerical solution of the equations in non-conservation form has a tendency to converge slower than the solution of the equations in conservation form. The investigation of the qualitative characteristics of the flow phenomenon is focussed on the frequency dependence of the mean level difference, which shows two types of points where the mean level difference changes sign. The first kind resembles resonance points, where the mean level difference diverges and the position of these points depend upon system specific parameters like the length of the tube and of the parameters determining the wave velocity. At the second kind the mean level difference changes continuously from for instance negative to positive values and the mean level difference si therefore zero at those points and the occurrence and position depend especially upon the location of the compression of the tube. It has not been possible to give a quantitative explanation of the frequency dependence of the mean level difference.

Projektet tager udgangspunkt i en ikke-lineær dynamisk model af blodstrømning i arterier, hvilket konkret vil sige at der tages højde for de ikke-lineære led i Navier-Stokes ligningerne og den ikke-lineære bevægelse af årevæggen. Med udgangspunkt i begreberne verificering og validering foretages en grundig vurdering af modellen. Dette indbefatter en diskussion af de antagelser der ligger til grund for opstillingen af modellen, et alternativt simuleringssetup i det kommercielle program FEMLAB med henblik på at sammenligne to forskellige numeriske løsninger, og en sammenligning af modellens resultater med eksperimentelle data. Det konkluderes at det i al væsentlighed er lykkedes at verificere modellen hvad angår de matematiske antagelser der danner grundlaget for opstillingen af modellen, om end der via en alternativ udledning af en af modellens ligninger påpeges et manglende led. Signifikansen af dette led diskuteres og der konkluderes at dette led ikke bør negligeres under de i modellen opstillede antagelser. Det konkluderes videre at det ikke er lykkedes at fremstille sammenlignelige simuleringer til sammenligning med modellens resultater, hvilket primært skyldes implementeringsmæssige vanskeligheder i det kommercielle simuleringsprogram FEMLAB. Endelig konkluderes at det ikke er lykkedes at validere modellen direkte udfra de eksperimentelle data, da data og simulering knytter sig til to forskellige arterier, med vidt forskellige forhold gældende. Der er dog indikationer af kvalitative ligheder mellem data og model.

Der er opstillet en matematisk model, der er i stand til at beskrive udviklingen af sygdommen grøn stær, som kan medføre permanent synstab. Dette er gjort ved at opstille en kompartmentmodel over væskestrømningerne i den forreste del af øjet. Modellen består af seks koblede differentialligninger, som i sidste ende beskriver trykket i de forskellige dele af den forreste del af øjet over tiden. Til opstillingen af modellen er benyttet gældende lægevidenskablig teori på området, i de tilfælde hvor en sådan har været tilgængelig. Modellen bygger primært på antagelserne; kammervæskens strømning i forreste del af øjet er drevet af en trykgradient; linæer sammenhæng mellem tryk og volumen i kompartmenterne; kammervæskestrømmen mellem to kompartmenter er lineært relateret til trykforskellen; kompartmenternes evne til at give sig er konstant, og at under de givne forhold er kammervæsken usammentrykkelig. Til modellen er opnået et sæt af e- og R-værdier (se tabel 4.1 side 28), som stemmer overens med værdier kendt fra litteraturen, og desuden opfylder modellen en række yderligere kriterier omkring strømninger i den forreste del af øjet som beskrevet i litteraturen. Dermed konkluderes, at parameterværdisættet, hvoraf mange værdier ikke var kendt på forhånd, og således er bestemt for første gang, er et godt bud på værdierne af parametrerne i den forreste del af øjet. På baggrund af at modellen, endnu, ikke er falsificeret, har det været et udmærket valg at modellere udviklingen af trykket i øjet over tid, med en kompartmentmodel. Modellen er blevet benyttet til at udføre en række simuleringer, som beskriver, hvorvidt der i det modellerede system udvikles grøn stær. Det konkluderes, at der for det modellerede system udvikles normal/åbenvinklet grøn stær, når udstrømningen gennem trabekelværket falder til ca. 10% af udstrømningen for et ungt raskt øje, eller derunder, hvilket stemmer overens med værdier fundet i litteraturen.

I dette projekt ser vi på rutning i mobile ad-hoc netværk. Det oprindelige formål var at muliggøre analytisk sammenligning af konkrete rutningsalgoritmer. Dette viste sig imidlertid vanskeligt, og vi har derfor arbejdet med et bredere spørgsmål, der lyder: Hvad kan matematiske modeller sige om rutning i mobile ad-hoc netværk, og hvilke mangler har disse modelbygninger i forhold til at foretage en vurdering af konkrete rutningsalgoritmer? Vi fremdrager modeller baseret på stokastisk grafteori. Navnlig går vi i dybden med to modeller. En der beskriver hvad sandsynligheden er, for at et netværk med endeligt antal enheder er forbundet, og en der beskriver hvorledes benyttelse af flere ruter, kan nedsætte rutningsalgoritmens overhead, ved at udskyde behovet for at søge efter nye ruter. Konklusionen er, at der er begrænset, hvad vi på nuværende tidspunkt kan sige om rutning vha. matematiske modeller, men at vi som en start kan give ovennævnte begrænsede delresultater. De studerende modeller har flere mangler, herunder mangel på et tidsaspekt, samt mangel på beskrivelse af navngivne enheder. Desuden kan det diskuteres, hvorvidt nogle af modelantagelserne er for grove.

I nærværende projekt forsøges opstillet en matematisk model, der kan analysere, vurdere og styre en given stemnings indflydelse på oplevelsen af musikalsk konsonans i et givet stykke musik. Med musikalsk konsonans menes en bred vifte af principper, der er styrende for tonal musik. Dette begreb opdeles i to komponenter. Den ene komponent kaldes konsonans og defineres på basis af frekvenser, svævningsfænomener og opfattelsen af beats imellem toner og deres overtoner. Den anden komponent kaldes harmoni. Denne indeholder de tillærte og kulturbestemte sider af oplevelsen. Modellen bygges op omkring opfattelsen af beats og ligger sig dermed op af konsonansbegrebet. Med udgangspunkt i arbejde af Helmholtz fra midten af det nittende århundrede opstilles nu en model for konsonansen af to toner. Denne model videreudvikles i projektet til at dække over en hel sang. På baggrund af modellen evalueres J.S. Bachs "Praeludium i C-dur" fra værket Wohltemperierte klavier. Endelig anskues problemet som et optimeringsproblem, hvor målet er at bestemme den arbitrære stemning, der har den største konsonans. Der diskuteres, hvorvidt modellen, der kun bygger på konsonansbegrebet, kan analysere en stemnings indflydelse på oplevelsen af musikalsk konsonans. Der konkluderes, at modellen i nogen grad kan analysere eb stemnings betydning for den musikalske konsonans. Der argumenteres i projektet for, at man, i modsætning til fx ny forskning af William B. Sethares, har en skarp adskillelse mellem begreberne konsonans og harmoni.

Rapporten dokumentere problemerne med at finde en analytisk løsning, i form af en perturbationsløsning, til det stationære problem, for et halvledersystem i termodynamisk ligevægt. For et intrinsik system, er det muligt, at finde en analytisk løsning, men når man medtager dopin, er det ikke muligt. Her må man ty til numerisk metoder. Det vil dog nok være meget mindre beregningskrævende at benytte denne løsning frem for en fuld numerisk metode. Rapporten indeholder også en beskrivelse af de fysiske forhold, der leder frem til et sæt af dynamiske ikke-lineære partielle parabolske differentialligninger.

Når en vertikal væskestråle rammer bundpladen i et kar, ses, at der indstiller sig en ligevægt. Indenfor en radius r omkring vandstrålen vil vandstanden være lav, mens vandstanden i afstanden r vil forøges pludseligt. Dette stabile spring i vandstanden kaldes det hydrauliske spring. I 1995 blev polygonformede hydrauliske spring opdaget i forbindelse med udarbejdelsen af et bachelorprojekt [4]. I forlængelse af denne overraskende opdagelse, blev i 1997 på Niels Bohr instittutet opstillet en model. Denne havde til formål at klargøre hvilke fysiske mekanismer, der ligger til grund for eksistensen af det hydrauliske spring. Modellen bygger på en ide om, at en kombination af en liniespænding over springet og en balance mellem de ydre, vandrette, radiale kræfter på springet er de styrende mekanismer i eksistensen af polygonformede spring. Den matematiske del af denne model er ikke beskrevet detaljeret i litteraturen. Denne rapport opstiller og analyserer deneksisterende model med henblik på at afdække, om eksistensen af polygonformede hydrauliske spring kan forklares alene ud fra de mekanismer, modellen bygger på. Rapporten konkluderer, at modellen er i stand til at afspejle en række kvalitative egenskaber ved det hydrauliske spring. Liniespændingen er dog ikke begrundet i et fundamentalt fysisk princip, og det er derfor ønskværdigt at opstille en model for formen af springet, der er bedre funderet i fysiske antagelser. I rapporten opstilles derfor ligningerne for en ny fysisk model, der blandt andet bygger på massebevarelse. Modellen analyseres ikke matematisk, men de fysiske principper, de to modeller bygger på diskuteres.

When a vertical jet hits a leveled surface, an equilibrium will arise. Within a radius r of the jet, the level of the liquid will be low. At a distance r from the jet this level will increase abruptly. This ring discontinuity is called the hydraulic jump. While preparing a thesis at the University og Copenhagen [4] in 1995, two students observed that the hydraulic jump could assume a polygonal form. In 1997, this peculiar discovery gave rise to a model, which had the purpose of describing which physical mechanisms are the governing of the existence of the polygonshaped jump. The basis of the model is an asserted linetension combined with a balance of forces extered on the exterior of the jump. The development of this model is not documented in detail in any publication. In this report the existing model is deployed and analysed. This is done to clarify if the mechanisms of the model gives sufficient conditions to verify the existence of the polygonal jumps. The report concludes that the model is capable of reflecting a numberof qualitative characteristics of the jump. The linetension, however, is not substantiated in any physical principle. Because of this a new model, which is better theoretically founded, is desirable. In this report the controlling equations of a new model is deduced from the physical principle of mass preservation (among others). The two models will be briefly compared and discussed.

Vi vil i denne rapport beskrive udbyttet af at udnytte de strukturelle sammenhænge i en sekvens af data. I denne forbindelse vil vi opstille nogle matematiske rammer inden for hvilke vi vil kunne give en generel beskrivelse af datasekvenser. Med grundlag i disse rammer vil vi opstille modeller til at beskrive og analysere tabsløse komprimeringsalgoritmer. Algoritmerne vi beskriver er LZ78, LZW samt Huffman. De vigtigste resultater af denne undersøgelse er at LZ algoritmerne tangerer entropien for ergodiske kilder, hvilket betyder at LZ algoritmerne er at foretrække frem for Huffman kodningen i de tilfælde de kan benyttes.

This Master Thesis deals with Fractal Image Compression, a lossy method for compressing digital images. Fractal Image Compression is based on image modelling with fractal structures known as iterated function systems (IFS). Compression of an image is done by constructing a iterated function system having the image as its fixed point. The system is composed of contractive affine mappings between self similar regions of the image. The parameters describing the function system serves as the compressed representation of the image. Decompression is done by iterating the function system from a random image, thus generating the fixed point of the system i.e. the original image. This thesis deals with three aspects of fractal compression, including mathematical foundation, implementation and useability of the method. The underlying mathematics is explored, covering traditional IFS, IFS with Probabilities and Recurrent IFS. Based on the mathematical theory, a prototype for fractal compression is implemented and then compared to both JPEG and an existing fractal compression application. We conclude that the most important mathematical results that makes fractal compression possible are the collage theorem for compression and the fixed point theorem for decompression. For the implementation of fractal compression methods, partitioned iterated function systems (PIFS) are used. These systems are not as mathematically well founded as the traditional IFS, but solves a number of problems that hinder implementation of traditional IFS in applications for image compression. Even though the prototype proves fractal compression to be a working method for lossy image compression, our tests show the quality vs. Compression ratio to be poor and not comparable to standard JPEG compression. Thus, fractal compression as implemented in the prototype is a poor substitute for common lossy image compression methods.

I dette projekt ønsker vi at undersøge matematiske modeller, som kan beskrive skibsskrogs stabilitet og fremdrivningsmodstand. Vi vil med det samme understrege at vi ikke er i stand til på nogen måde at kritisere disse modeller på en faglig kompetent mådee. Området har været genstand for videnskabelige og systematiske undersøgelser i mere end 100 år og er heltidsbeskæfigelse for ingeniører. Fortolkningen af denne type af modeller, der beskriver fysiske forhold er heller ikke så nem at diskutere eftersom forholdet mellem virkelighed og model er meget entydig sammenlignet med for eksempel økonomiske modeller. Den matematiske model kan i vores tilfælde hele tiden gøres til genstand for forsøg, hvorved den kan verificeres eller forkastes helt eller delvist. Vi vil derfor begrænse os til at forholde os til modellerne ved at komme ind på deres begrænsninger.

I dette speciale opstilles en aldersopdelt model, til at modellere dynamikken i spredningen af børnesygdomme. Den fokuserer på skolen som det primære sted for spredningen. Modellen består af to dele; en del der beskriver forløbet af en enkelt epidemisæson og en del, der beskriver fremskrivningen af klasserne og reduktionen af modtagelige i de enkelte klasser som følge af epidemien. I analysen af modellen fokuseres der på modellens evne til at udvise periodiske løsninger. Hvis en tærskelværdi overskrider værdien én eksisterer der et endemisk ligevægtspunkt. Hvis der ikke indføres en aldersafhængig reduktion af mitsomhed og modtagelighed, er det endemiske ligevægtspunkt stabilt, og evt. svingninger i forekomsten af syge er så små, at de ikke kan forklare de svingninger, der kan observeres i data fra eks. mæslinger. Ved indførel af en aldersafhængig reduktion af mitsomhed, er modellen istand til at udvise både stabile og ustabile periodiske bevægelser. Ud over disse periodiske bevægelser har modellen for et passende valg af parametre og begyndelsesbetingelser også en attraktor. Bevægelsen på denne kan i nogle tilfælde antage en kaosligende form.

In this master thesis we present an age-structured school oriented epidemic model. The model is in two parts; one part describes a single epidemic season using a standard epidemic model, while the other part is a descrete season-to-season map which describes the loss of susceptibles due to the epidemic. The analysis of the model focus on periodic solutions of the model. If a threshold value exceeds unity the map has an endemic stationary state. Without the introduction of an age-dependent reduction in the susceptibility or infectiousness, the endemic stationary state is stable and possible oscilations of infected are of a size that does not correspond with data. With the introduction of an age-dependent reduction in the infectibility, the model shows both stablre and unstable oscilations. For a limited choice of parameter values and stating points the existens of an attractor is established.

Denne projektrapport handler om økonomiske makromodeller og deres opbygning. Rapporten vil i første del se på teorien bag ligevægtsmodeller og anvendte generelle ligevægtsmodeller. I anden del vil rapporten omhandle en diskussion om forudsætningerne og konsekvenserne for antagelserne om befolkningssammensætning i en økonomisk model og hvilke konsekvenser ændrede forudsætninger har for det offentlige kapitalapparat.

Rapporten er en analyse af et programværktøj ved navn Ecopath. Programmet bruges til at konstruere masseligevægtsmodeller af artsinteraktionen i et marinbiologisk økosystem. Vores analyse er foregået på to niveauer. Dels har vi brugt programmet tila t konstruere en model af artsinteraktionen i Østersøen for derved at få en fornemmelse for, hvorledes man anvender det til konstruktion af en model. Derefter har vi forsøgt at afdække og analysere de antagelser, modellen bygger på. Det har vi gjort ved at tage de grundlæggende biologiske antagelser programmet bygger på og se, hvorledes de hænger sammen med de ligninger, der er implementeret i programmet. Ligningerne i programmet er indbyrdes forbundne og lineære, hvilket gør, at de kan løses ved hjælp af lineær algebra. Vi konkluderer, at antagelserne, der ligger bag en Ecopathmodel, foregår på forskellige miveauer. Der er antagelser, som vedrører en konkret model konstrueret i Ecopath, og disse antagelser kan anfægtes uden at det rammer selve programmet. Derudover er der antagelser i Ecopathprogrammet, som man accepterer, idet man vælger at benytte Ecopath ved en modelkonstruktion. Disse antagelser er der ikke konsensus om, og derfor bør man orientere sig om dem, inden man eventuelt benytter Ecopath.

Dette projekt tager udgangspunkt i et virkeligt VRP-problem, nemlig FDBs. For deslige FDB-lignende problemstillinger foreslås udvidelser til en klassisk matematisk formulering af VRPTW, således at denne kan tage forbehold for relevante faktorer i et ruteplanlægningsproblem - såsom backhaul og køre- og hviletidsbestemmelser - som ikke er indbefattet i VRPTW. Ydermere vurderes hvilken klasse af algoritmer vi finder mest fordelagtig til implementering i et rutelægningssoftware til den givne type af problemer. De relaterede overvejelser bygger i høj grad på dataindsamling fra benchmarktests af de omhandlede algoritmer og i nogen grad på beregningskompleksitetsforhold. Afslutningsvis konkluderes på baggrnd af en afvejning mellem løsningskvalitet og beregningstid, at det ved løsning af et FDB-lignende rutlægningsproblem ville være mest fordelagtigt at benytte tabu-søgning som søgealgoritme i et ruteplanlægningsprogram.

I denne rapport præsenteres en udbygning af en matematisk model for trykket som funktion af tid og volumen i hjertets venstre ventrikel. Den kan både benyttes ved isovolumetrisk kontraktion og ved udpumpning mod det cardiovaskulære system. Modellen er en videreudvikling af en model oprindeligt opstillet af J.P. Mulier. Denne udbygning har til formål at muliggøre en skalering af modellen, så den er gældende ved forskellige slagfrekvenser. Herefter kobles denne nye model til en cardiovaskulær model.

In this report we present an extension of a mathematical model of pressure as a function of time and volume in the left ventricle of the heart. It is useful both at isovolumetric contraction and at ejection to the cardiovascular system. The model is an extension of a model originally proposed by J. P. Mulier. The goal of this extension is a possible scaling of the model so as to validate it at different heart rates. Additionally, this new model is implemented into a cardiovascular model.

Det undersøges om det i Peskins 2D-hjertemodel giver en mere fysisk og matematisk konsistent modellering at anvende en af Peskin udledt modificeret version af Navier-Stokes ligning frem for den originalt anvendte. Ved at opstille et sæt af forudsætninger, der giver en teoretisk ramme til forståelse af den originale version af modellen, vises det, at denne er matematisk og fysisk konsistent. Det vises desuden, at forskellen mellem de to versioner af Navier-Stokes ligning kun har betydning i de områder, hvor der løber væske ind i modellen. Endvidere implementeres den modificerede Navier-Stokes ligning i Peskins 2D-hjertemodel,, og det analyseres på baggrund af data fra modellen, hvorvidt modifikationen har en positiv effekt på modellens praktiske problemer. Hermed menes konkret om modifikationen medfører en forbedring af modellens mumeriske stabilitet, eller om den har en hæmmende effekt på hjerterandens bevægelse i beregningsdomænet. På baggrund af modellens data ses der ingen tegn på, at modifikationen afhjælper de praktiske problemer.

In the following paper we present the main results of a one term graduate student project. The entire work is presented, in Danish, in Jakobsen & Niss. We analyse the form of the fluiddynamical equation of motion, in a two dimensional model with distributed sources and periodic boundary conditions. We conclude that the form of the equation of motion depends on the assumptions about the fluid entering and leaving the model. Futher we look at the total kinetic energy in the model, and how it depends on the assumptions.

Forurening af det marine sediment med olie og oliekomponenter har foregået i årtier. De transport og omsætningsprocesser, der forløber i sedimentet er afgørende for, om olien bliver begravet, nedbrudt, går ind i den marine fødekæde eller frigives til vandfasen. Sandorme, som lever nedgravet i kystnært marint sediment, er kraftige bioturbatorer. De er i stand til at omrøre og ilte den øverste del af sedimentet og påvirker både transporten af vand og partikler samt stimulerer den mikrobielle omsætning. Derfor har sandormen sandsynligvis en stor og afgørende betydning for oliens skæbne i sediment. I denne rapport opstilles en matematisk model, der beskriver transporten og omsætningen af oliekomponenten, pyren, i sediment påvirket af bioturbation fra sandorme. Modellen inkluderer dels partikelmixing (transport af partikler) og irrigation (transport af vand), sorption og desorptionsprocesser samt mikrobiel nedbrydning. Modellen er beskrevet i cylinderkoordinater og den matematiske grundstruktur udgøres af to koblede partielle differentialligninger, som løses numerisk. Løsninger til differentialligningerne sammenlignes med empiriske data og den generelt gode overensstemmelse indikerer, at de processer, der er indeholdt i modellen, kontrollerer pyrens skæbne i sediment. Det konkluderes derfor at modellen kan bruges til at studere og forudsige hvad der sker med pyren i bioturberet sediment samt undersøge sandormens effekt på transporten og omsætningen af pyren. De modelresultater, der er præsenteret i rapporten viser, at sandormen fremmer fjernelsen af pyren fra sedimentet og at denne fjernelse er forårsaget af transportprocesserne - ikke mikrobiel nedbrydning. Modellen giver endvidere en indsigt i den rumlige og tidslige udvikling i pyrenkoncentrationen i sedimentet - viden det ikke umiddelbart er muligt at skaffe eksperimentet.

I dette projekt undersøges to matematiske modeller, der bruges indenfor kemi. Den ene, RHF-modellen, bruges til at bestemme molekylers grundtilstandsenergi og struktur. Den anden, Hückelmodellen, bruges til at bestemme energien for pi - pi*-overgange. Teorien bag deto modeller gennemgåes. Dermed simplificeringer og approksimationer. De to modeller er forsøgt verificeret ved at sammeligne med eksperimentel data for seks molekyler: propenal, trans-hex-1,3,5-trien, benzen, pyrimidin, furan og o-hydroxybenzaldehyd. Det konkluderes, at RHF-modellen er en teoribaseret model, hvorimod Hückelmodellen indeholder mange approksimationer. Indenfor kemi kalder man RHF-modellen en ab initio-model og Hückelmodellen for en semiempirisk model. Det konkluderes, at RHF-modellen er god til at bestemme molekylstrukturer. Det er ikke muligt at verificere grundtilstandsenergien, da der ikke er noget eksperimentelt sammenligningsgrundlag. Yderligere konkluderes det, at Hückelmodellen ikke er så god til at bestemme HOMO-LUMO-overgange for de fem af molekylerne, men bestemmer overgangen i o-hydroxybenzaldehyd godt.

In the current text two mathematical models from the world of chemistry is examened. One, the RHF-model, is used for determining of the ground state energy and the structure of the molecule. The other, the Hückel model, is used for determining the energy of pi - pi* transitions. The basic theory for the two models is explained including the simplifications and approximations. We have attempted to verify the two models by comparing with experimental data for six selected molecules: propenale, trans-hex-1,3,5-triene, benzene, pyrimidine, furane and o-hydroxybenzaldehyde. It is concluded that the RHF-model is based on theory, where the Hückel model contains a lot of approximations. In the world of chemistry the RHF-model is called an ab initio-model, where the Hückel model is semi-empirical. It is found that the RHF-model determines the molecular structure extremely well. It is not possible to verify the energy of the ground state since there are no experimental data available. It is further concluded that the Hückel model doesn´t verify the HOMO-LUMO transistion for the first five molecules but hte transition energy for o-hydroxybenzaldehyd is very well determined.

Den matematiske modelverden kan kategoriseres efter forskellige principper. Foretages kategoriseringen efter det formål, hvormed modellerne er opstillet, er der efter gængs opfattelse tre forskellige modelkategorier. Det drejer sig om henholdsvis de forudsigende, de foreskrivende og de beskrivende modeller. Vi mener, at der mangler en modelkategori, nemlig den der har til formål at forklare et system, eller mere præcist at forklare dets struktur eller de mekanismer, der skaber systemets regularitet. Nødvendigheden, eksistensen og karakteristikken af disse strukturmodeller er det, denne projektrapport undersøger. Undersøgelsen foregår på grundlag af to formodede strukturmodeller; en klassifikation af dobbeltperiodiske mosaikker og en model for en stokastisk kundeankomstproces. Vi konkluderer på baggrund af karakteristikken af strukturmodellerne, at modeltypen adskiller sig klart fra de forudsigende, de foreskrivende og de beskrivende modeller, og at strukturmodeller derfor må være berettiget til deres egen modelkategori.

Ingen projektrapport afleveret til MAT-SN.

I nærværende rapport identificeres og analyseres to parallelt koblede køer som karakteristisk systemtræk ved Ericssons telefonsamtaledistributionssystem. Vigtige krav til køsystemet er, at servicetiderne er såvel job- som køafhængige. Systemet er beskrevet ved 4 stokastiske poissionfordelte variable og der opstilles et fuldstændigt sæt af tilstandsligninger, der beskriver sandsynlighedsfordelingen i tilstandsrummet. Tilstandsligningerne behandles ikke selvstændigt, men anvendes i et arbejde med middelværdierne af de stokastiske variable. Ved at identificere de afledte af middelværdierne findes to differentialligninger til fire ubekendte. Det konkluderes at det er tvivlsomt, men stadig uafklaret om det er muligt at bestemme en løsning med denne metode.

Projektrapporten præsenterer en metode til en evaluering af nøjagtigheden af et digitalt kort, hvor den konkrete bruger af kortet og dennes specifikke anvendelse indgår centralt i planlægningen og udførslen. Denne brugerfokuserede nøjagtighed kaldes "kvaliteten". Metoden tager afsæt i de traditionelle metoder til evaluering af opgørelsen af kortets nøjagtighed foretages. Til forskel fra de almindelige metoder åbner kvalitetsmodellen op for anvendelsen af referencedata der ikke baseres på feltobservationer. I rapporten berøres desuden en metode til at inddrage fuzzy-logik i en evalueringssituation. Ud fra præsentationen af kvalitetsmodellen diskuteres grundlaget og mulighederne for at kunne bruge den i praksis. Det slås fast at der er omfattende problemer med at fortolke og generalisere modellens uddata (kvalitetsmål m.m.). Desuden ligger der massive vanskeligheder i ikke at benytte sig af feltobservationer som referencedata.

Projektet omhandler primært en undersøgelse af (7,16,3)-Hammingkodens anvendelighed i beskrivelsen af det reducerede tipssystem R 0-7-16´s tegnfordeling, og en deraf følgende vurdering af garantier for gevinst, ved tipning via dette system. Der bliver i projektet gjort rede for regler, præmier samt måder at tippe på. Endvidere en redegørelse for fejlkorrigerende kodning, hvor grundlæggende begreber udvides til lineære koder, Hammingkoder og afslutningsvis, en undersøgelse af perfekte koder. Fremstillingen foregår primært i Z(n,2), men bliver perspektiveret til Z(n,3). Afslutningsvis følger en diskussion af måder at optimere sin tipning på. Det konkluderes, at R 0-7-16´s tegnfordeling fremkommer ved at konstruere kodeord defineret ved (7,16,3)-Hammingkoden, og at tipssystemet garanterer mindst 12 rigtige tipstegn.

Projektet behandler problemet om hvorvidt man v.h.a. formelle matematiske metoder kan sammenligne og kvalitetsvurdere forskellige mandatfordelingsmetoder, og derigennem evt. bestemme den mest neutrale.

Der opstilles først en baggrundsteori om drivhuseffekt, atmosfærens historie, samt beregning af isens alder og konæntration af CO2. Derefter ses på en større klimamodel HILDA-modellen opstillet af bl.a. Fortunat Joos, Schweiz. En simplificering af ovenstående gennemgås samt en model opstillet af gruppens medlemmer til beregning af atmosfærens CO2-indhold. Beregningsresultater gennemgås.

Denne rapport er en lille verifikation af DHIs grundvandsmodel MIKE SHE. I projektet har vi sammenlignet to analytisk bestemte løsninger med to numeriske løsninger fra MIKE SHE. Vi har dernæst identificeret afvigelserne og givet et bud på årsagen til disse. Det viser sig at de små afvigelser der kan findes, er beliggende omkring punkter hvor trykhøjden ændrer sig drastisk. Vi mener at årsagen til at MIKE SHE ikke kan beskrive trykhøjden omkring sådanne punkter er at den benytter sig af endelig differens metoden til at løse diffusionsligningen.

Rapporten evaluerer en hjertemodel foreslået af Campbell og Kirkpatrick. Modellens formål er at redegøre for den oscillerende trykrespons, et hjerte udviser under isometrisk kontraktion, via positiv feedback. I rapporten evalueres Campbell og Kirkpatricks modelproces, deres fysiologiske antagelser, samt deres matematiske konsekvenser, og det konkluderes at Campbell og Kirkpatrick ikke har redegjort for at positiv feedback kan forklare den oscillerende trykrespons. Det diskuteres også, at selvom Campbell og Kirkpatrick ikke redegører for den oscillerende kraftkurve, er det muligt, via positiv feedback, at eftervise den.

Projektrapporten omhandler matematiske modeller anvendt i kombinatorisk kemi.

Dette speciale indeholder en analyse af Hydro/Texacos planlægningsproblem. Hydro/Texaco har et antal tankvogne, som bruges til at levere olie til deres kunder. Problemet er at minimere omkostningen ved leveringerne og samtidig give chaufførerne et acceptabelt arbejdsmiljø. Hydro/Texaco har et IT-baseret system som kan lave en sådan planlægning fuldautomatisk, men Hydro/Texaco benytter ikke den fuldautomatiske planlægning, fordi systemet ikke kan tage højde for arbejdsmiljøet. Arbejdsmiljøet kan deles op i to dele. Det ene er, hvor irriterende kunderne er, og den anden del er fordelingen af overarbejde samt chaufførernes individuelle holdninger til overarbejde. Disse størrelser i ruteplanlægning skal ses som "bløde" størrelser, og er derfor vanskelige at forholde sig til. Vi har derfor lavet en matematisk modellering af arbejdsmiljøet, og givet et bud på hvordan det kan bygges ind i den objektfunktion, som algoritmen der laver den automatiske planlægning benytter. Vi har dog ikke haft mulighed for at teste den samlede objektfunktion, men har testet de enkelte dele, og konfronteret en af Hydro/Texacos planlæggere med det, og han har sagt god for det. Desuden findes i dette speciale undersøgelse af heuristiske algoritmer til løsning af den rejsende sælgers problem og ruteplanlægningsproblemet. Der er fokus på GENIUS, som bruges til løsning af den rejsende sælgers problem, og på TABUROUTE som bruges til løsning af ruteplanlægningsproblemet. TABUROUTE og GENIUS er forbundet ved, at TABUROUTE benytter GENIUS løbende til at optimere på løsningen. TABUROUTE regnes for at være en af de bedste algoritmer til løsning af det klassiske ruteplanlægningsproblem.

This master degree is an analysis of the oil company Hydro/Texaco´s vehicle routing problem. Hydro/Texaco has a number of vehicles, used to deliver oil to the customers. The problem is to minimize the expenses and at the same time give the drivers a fair working environment. Hydro/Texaco has a system based on modern Information Technology, which can produce a schedule automatically. However, Hydro/Texaco is not using the automatic planning, because the system can not take into consideration the working environment of the drivers. The working environment consists of two parts. The first is the annoyance of serving the customers, the second is the overtime of the drivers. Both parts are soft conditions and therefore difficult to handle. We have made mathematical models of the working environment. We have made a suggestion to how the models could be worked into the existing object function, the automatic planning system uses. We have not had the oppertunity to test the new obejct function, but we have tested the separate parts and confronted one of the planners of Hydro/Texaco with them. He found the parts realistic. Furthermore, there is a survey of heuristic algorithms to solve the travelling salesman problem and the vehicle routing problem. We have focused on GENIUS, which is used to solve the travelling salesman problem. We have also focused on TABUROUTE, which is used to solve the vehicle routing problem. TABUROUTE uses GENIUS to optimize the solution. TABUROUTE is considered to be one of the best algorithms to solve the vehicle routing problem.

I projektet undersøges hvordan et digital signatur-system implementeres effektivt udfra standarden IEEE P1363. Det valgte signatur-system er ECSSA, der er baseret på elliptiske kurver af karakteristik 2. Der opstilles en model for signatur-systemet baseret på en undersøgelse af overvejelser i forbindelse med en implementation af ECSSA. I undersøgelsen indgår konsekvens af valg af basis, afvejning af affine koordinater mod projektive koordinater, valg af skalarmultiplikations-algoritme. Konklusionen er at en optimal normal basis generelt har den hurtigste aritmetik, og derfor vil være et godt valg som basis. Projektive koordinater vil være at foretrække fremfor affine koordinater, hvis inversion kræver meget beregning i forhold til multiplikation. Endelig kan skalarmultiplikations algoritmen vælges enten med lager eller hastighed som prioritet. Den binære metode er meget simpel og kræver næsten ingen lager, men hvis hastighed er større prioritet, så vil vindue metoden være at foretrække.

Formålet med dette projekt er at undersøge, hvad der skal til for at en model er universel. Dette er gjort ved at undersøge to forklarende, universelle modeller og undersøge om der er fællestræk mellem modellerne. Det første system vi har valgt at undersøge er self-organized criticality, der er en teori om naturens kompleksitet. Det andet system er Feigenbaumtræet, der beskriver overgangen fra orden til kaos i et iterativt system. Undervejs er baggrunden for disse modeller, samt teorien bag skitseret op. Der konkluderes at sandbunken er universel, fordi den forklarer 1/f-spektrum unden justering af parametre, emns Feigenbaum-træet er universelt på grund af Feigenbaumkonstanten. Det har ikke været muligt, udfra vores valgte modeller, at beskrive fællestræk for universalitet.

Projektet omhandler konstruktion af digitale terrænmodeller i det terrænanalytiske værktøj MTA (MGE Terrain Analyst), der udgør en del af GIS-miljøet MGE (Modular GIS Environment). MTA bruger diskrete, tredimensionale målepunkter og interpolerer en flade mellem disse. Først konstrueres Delaunay-triangulationen af målepunkterne. Dernæst interpoleres højdeværdierne til et rektangulært gitter. Sidst benyttes bikubiske spline-polynomier til at konstruere en tredimensional overflade. MTA-modellen karakteriseres som en deskriptiv, statisk, matematisk model. Anvendelsen af Delaunay-triangulationen og den bikubiske spline-interpolation, er velbegrundet og begge metoder vurderes som generelt anvendelige. Derimod opfatter vi behovet for gitterkonstruktionen som et svagt, emn uundgåeligt led i interpolationsprocessen. Vi vurderer at dokumentationen for MTA-modellens opbygning og gennemsigtighed er mangelfuld og uhensigtsmæsssig. De digitale terrænmodeller analyseres med ugangspunkt i et virkleligt terræn: Bornholm. Først konkluderes at digitaliserede toppunkter forbedrer den endelige terrænmodel. Dernæst findes et begrænset antal punkter fra højdekurverne, der sammen med toppunkterne og kystlinien gengiver Bornholms karakteristika repræsentativt. Sidst konkluderes at terrænmodellen der dannes af den fundne datamængde, er tilstrækkelig troværdig til at gengive højder, mens der om modellens evne til at gengive første- og anden afledte ikke kan konkluderes entydigt.

Projektet omhandler A.L. Hodgkin og A.F. Huxleys ordinære 1. Ordens differentialligningsmodel for en nervecelles funktion. Vi har først beskrevet de antagelser, der ligger til grund for modellen. Dernæst har vi opstillet den matematiske model og vi har præsenteret de vigtigste resultater, der er udledt fra modellen. Endelig har vi opstillet et teoretisk fundament for dels opstillingen af en matematisk model og dels for udviklingen af en videnskabelig teori. Sluttelig har vi undersøgt den matematiske models betydning for udviklingen af en teori for nervens funktion. Vi fandt, at Hodgkin og Huxley opnåede en indsigt i nervens funktion, som de ikke kunne have opnået uden den matematiske model.

I denne rapport har vi opstillet en model op for vibrationer i en piezokeramisk skive. Skiven modtager et spændingsinput fra to elektoder, der er hæftet på endefladerne. Vi har forsøgt at regne på modellen ved at rækkeudvikle med Besselfunktioner. Det lukkedes at løse en simpel model, der svarer til, at ligningen er omkranset af en stiv glat ring. Derefter har vi skrevet i et program, der burde kunne løse ligningerne numerisk; men det virker desværre ikke.

I perioden 1991 til 1995 var jeg ansat i Nordisk Teleskop Gruppe, her deltog jeg i design af en bølgefront sensor til et solteleskop, som gruppen havde under design. Min del, af projektet, var specifikation af computer systemet og CCD-kamera. Efter gruppens opløsning i slutningen af 1994, var jeg så heldig, at komme til at fortsætte arbejdet med denne sensor, sammen med Mette Owner-Pedersen fra Fysisk institut på DTU. Her var min opgave, udover hardware, at udvikle softwaren samme med Mette. Jeg har i alt den tid ikke haft, andet end en vag fornemmelse af den grundlæggende teori for bølgefront sensoren og dens anvendelser, derfor besluttede jeg at skrive et matematik projekt om den grundlæggende problemstilling i måling af bølgefronter og anvendelse af disse bølgefronter. Dette fører til følgende problemstilling: Hvorledes kan man bruge bølgefronter til at kompencerer for atmosfærens indflydelse på et teleskops billedkvalitet? og hvorledes kan man bestemme disse bølgefronter? Projektet starter med en kort introduktion, afsnit2, til den overordnet problemstilling og derefter forsøger jeg, i afsnit 3, at give en intuitiv forklaring på en række problemer vedrørende observation af objekter, hvor atmosfæren har indflydelse på billedkvaliteten. I afsnit 4 gives en axiomatisk beskrivelse af et lineært system, til beskrivelsen af atmosfæren og teleskopet. Afsnit 5 beskriver, især, det optiske system (teleskopet) nærmere og hvorledes man kan bestemme overføringsfunktionen for systemet ved hjælp af en bølgefront. Afsnit 6 beskriver, hvordan måling af bølgefronten konkret er implementerede i den bølgefront sensor, vi har arbejdet med. Til sidst beskrives nogle forsøg, til verificering af sensorens dueligehed, samt resultaterne af disse. Der er inkluderede en række appendiks, der indeholder supplerende beskrivelse til understøttelse af det primære stof.

In the following I have examined the use of a stochastic decision function in Bayesian sampling planning. More precisely I examined the problem of accepting or rejecting a batch of articles described by a normally distributed average weight. Such a decision can be made by using a polynomial loss function. If we let the loss function be linearly dependent on the size of the samlpe, we can find the optimal size of the sample. In this report I have examined the appliance of a stochastic decision function proposed by /Ho, 1995). The purpose of this decision function is to allow for the buyer to bargain after the sample have been tested. I have written a program in Mathematica that can find the optimal size of the sample and loss function. Results from this program show that the stochastic decision function does not have a great influcence on the minimizing sample size.

Vi vil i denne rapport give en beskrivelse og vurdering af to forskellige modeller af hjertet. Den første model er udarbejdet af V.C. Rideout, og er en veletableret model, der giver en simpel beskrivelse af hjertet. Den anden model er udarbejdet af bl.a. J.P. Mulier og er af nyere dato. Denne model indeholder en mere detaljeret beskrivelse af hjertet. For at kunne foretage en vurdering og sammenligning mellem de to modeller har vi koblet dem til en model af blodkredsløbet og implementeret dem i højniveau programeringssproget MATHEMATICA. Dette er gjort for at foretage en sammeligning af de resultater, de to modeller giver, emd fysiologiske data. Vi konkluderer, at det er påkrævet med en mere detaljeret beskrivelse af hjertet end den, Rideouts model kan give. Denne større grad af detalje finder vi i Muliers model, emn denne model har det problem, at flere af de parametre, der indgår i modellen, ikke kan relateres direkte til hjertets kendte egenskaber. Dette problem forstørres af, at der endnu ikke kan foretages målinger på mennesker, der er tilstrækkeligt detaljerede til at de indgående parametre kan bestemmes eksperimentielt.

Projektet tager udgangspunkt i 2 rapporter om nedsivning fra Stengårdens losseplads. Problemformulering: Hvordan kunne rådgivende firmaer inden for en periode på 10 år komme til diametralt modsatte vurderinger - på grund af flere data eller bedre modeller?

Denne projektrapport handler om Verdensbankens globale befolkningsprognosemodel - en beskrivelse af modellen samt en kritisk analyse af den. Baggrunden for vores valg af problemfelt har dels været vores interesse for demografiske problemstillinger, dels et håb om at de demografiske modeller og analysen af Verdensbankens model i særdeleshed ville give os en eksemplarisk indsigt i matematiske modeller og de problemstillinger, der knytter sig til deres udvikling og anvendelse. I denne forbindelse skal det også nævnes, at vi har en baggrund som undervisere i gymnasiet og på teknisk skole. Udgangspunktet for vores arbejde med og interesse for matematiske modeller har derfor også været de dannelsesaspekter, der knytter sig til undervisningen i matematiske modeller.

Eksperimenter viser, at et system bestående af platinelektroder og en stærk elektrolyt (f.eks. Køkkensalt i vandig og opløsning) ved lave frekvenser udviser et konstant forhold mellem real og imaginærdel af den frekvensafhængige kapacitans. En opførsel af denne type kaldes et universelt respons, da det kan observeres i et væld af umiddelbart meget forskellige stoffer. Rapportens formål er at undersøge, om der er mulighed for, gennem en matematisk model baseret på fysiske overvejelser omkring det mikroskopiske niveau i interfacelaget mellem elektrode og elektrolyt, at reproducere det universelle respons. Ud fra en allerede opstillet matematisk model af K. Funke omkring en lignende problemstilling og på basis af en på forhånd givet fysisk hypotese om, hvad det observerede respons skyldes, modelleres vores system. Det viser sig ved nærmere undersøgelser, at Funkes model er inkonsistent. Herudover kan det fastslås, at det er usandsynligt, at en model opstillet efter den givne fysiske hypotese kan give den universelle opførsel. Den model vi opstiller, viser sig i scenarier, der er ufysiske i forhold til vores eget system, men ellers ofte forekommende, at kunne gengive universelt respons yderst let.

I dette projekt undersøges hvordan Den Danske Eulerske model (DEM) er verificeret. DEM er en kompleks partiel differentialligningsmodel, der beskriver, hvordan kemiske stoffer (luftforurening) transporteres og omsættes i atmosfæren over Europa og dele af Asien og Afrika. Vi gennemgår først, hvordan modellen er opbygget. Dernæst opstilles en generel verificeringsprocedure hvormed computerbaserede matematiske modeller kan verificeres. Denne procedure indeholder en konceptuel verificering, en verificering af data, en numerisk- og computer verificering samt en empirisk verificering. Det diskuteres om en sådan generel procedure har en berettigelse og hvordan den kan anvendes. Den generelle verificeringsprocedure benyttes til, at analysere hvordan DEM er blevet verificeret. I analysen forkuseres på de redskaber og argumenter, som er blevet benyttet til at verificere DEM. Det konkluderes at den generelle verificeringsprocedure kan benyttes til at undersøge hvordan DEM er verificeret. Endvidere konkluderes det at DEM er blevet verificeret indenfor de 4 verificeringsgrupper og at modellen kvalitativt kan beskrive transport og omsætning af luftforurening.

I dette modelprojekt behandles nye og gamle kryptosystemer, med hovedvægten lagt på nye kryptosystemer. Der undersøges særligt indgående opbygningen af kryptosystemet RSA, herunder primtalstest og faktoriseringsalgoritmer. I forbindelse med RSAs sikkerhed kommer vi ind på Rabin´s kryptosystem. Sidst i rapporten kommer et bud på udviklingen inden for fremtidens kryptosystemer. I denne forbindelse beskriver vi to alternative systemer til RSA. ElGamal kryptosystemet baseret på det diskrete lofaritme problem og kryptering ved hjælp af elliptiske kurver.

Vi har med dette projekt ønsket at få et overblik over, hvad én bestemt type netværk består af, dvs. hvordan er de opstået, hvad er de velegnet til, hvordan er de opbygget, hvordan indlærer de, hvilke mangler har de. Samtidig har vi ønsket at se en eksemplarisk udgave af denne type netværk brugt i det virkelige liv. Vi har valgt at beskæftige os meget indgående med et feedforward netværk, der benyttes i slagteriernes klassificieringscenter. Dette har vi gjort, fordi klassificeringscenteret og dermed feedforward netværk anvendes med succes i industrien. Da vi ikke har haft tid til at beskæftige os indgående med mere end én type netværk, har vi valgt kun overfladisk at beskrive det rekurrente netværk, der benyttes i klassificeringscenteret. Projektet indeholder således et rids af feedforward netværkenes historie. Samt en kort gennemgang af den biologiske neuron, da de neuroner, der benyttes i feedforward netværk, og i andre kunstige neurale netværk, er inspireret af denne. Herefter kommer der en beskrivelse af feedforward netværk, som vil indeholde en beskrivelse og forklaring af denne type netværks styrke, nemlig det at de kan klassificere. Dernæst kommer en gennemgang af backpropagation, der er en effektiv indlæringsmetode til feedforward netværk. Herunder ser vi på problemer vedrørende indlæring af et indlæringsmetode til feedforward netværk. Herunder ser vi på problemer vedrørende indlæring af et feedforward netværk. Sluttelig har vi set på et klassificeringscenter udviklet af slagteriernes Forskningsinstitut hvori der både indgår et feedforward netværk og et rekurrent netværk.

Den foreliggende rapport er resultatet af et specialeprojekt om viskøse fingre, der er dannelsen og udviklingen af instabiliteter, der optræder ved strømning af væsker i porøse materialer og som skyldes forskel i væskernes viskositet. I rapporten behandles en væskefortrængningsmodel og denne model er afprøvet i COWIs kompositionelle reservoirsimulator COSI. Hertil har vi implementeret en særlig viskositetsmodel, der beskriver viskositeten som en ikke-monoton funktion af koncentrationen. Endvidere er der udført en analytisk og numerisk stabilitetsanalyse af førnævnte væskefortrængningsmodel. Resultaterne af simuleringerne i COSI stemmer overens med væskefortrængningsmodellens resultater, dels fra stabilitetsanalysen og dels fra andre simuleringer beskrevet i litteraturen. I forbindelse med simuleringerne fandt vi, at der optræder numerisk diffusion i COSI, men det har ikke haft direkte indflydelse på vores resultater.

Dette projekt indeholder en undersøgelse og analyse af de stokastiske elementer i en stokastisk, trafikafhængig rutevalgsmodel. Rutevalgsmodellen indgår i en trafikmodel, som beskriver trafikken i Storkøbenhavnsområdet. Trafikfordelingen mod Kastrup Lufthavn er undersøgt over de fire broer; Kalvebod Bro, Sjællandsbroen, Langebro og Knippelsbro. Betydningen af de stokastiske elementer undersøges ved at beskrive dem ved følgende statistiske fordelinger: Normalfordelingen, gumbelfordelingen, gammafordelingen og den rektangulære fordeling. Modelkørselsresultaterne er analyseret i det GIS-lignende program TransCAD på Danmarks Tekniske Universitet. Følgende er resultaterne blevet analyseret og diskuteret i forhold til hinanden og i forhold målt datamateriale. Desuden er der foretaget en diskussion af trafikmodellen, herunder rutevalgsmodellens opbygning. Der er ydermere foretaget en perspektiverende diskussion af problematikken omkring matematiske modellers i beslutningsprocesser. Projektets konklusion er at med de anvendte værdier for spredningen i de statistiske fordelinger modellerer normalfordelingen, gumbelfordelingen og den rektangulære fordeling trafikken ens over de fire broer. Desuden er det uden betydning om fordelingerne enkelttrunkeres eller dobbelttrunkeres. Vi konkluderer at der er problemer forbundet med at anvende gammafordelingen i denne forbindelse og vi konkluderer at det skyldes fordelingens asymmetri. Slutteligt konkluderer vi, at det i vores undersøgte tilfælde må være mest hensigtsmæssigt at anvende den rektangulære fordeling, da den til forskel fra normalfordelingen og gumbelfordelingen kan løses analytisk og ikke genererer negative værdier.

Ved at betragte en serieproducerende virksomhed, der har en kendt afsætningsfunktion, er der udarbejdet en model, der betragter og løser de lagerproblemer, der er knyttet til det produktionsmæssige lagersystem bestående af rå- og færdigvarelagrene, samt mellemvarelagrene. Dette system af lagre er i opgaven kaldt for et multiniveaulagersystem, og de problemer, der knytter sig hertil, kommer ind under begrebet multiniveaulagerproblemer. Opgavens disposition, bygger i princippet på nedenstående procedure: 1. Beskrivelse af problemet. 2. Beskrivelse af systemet hvori problemet eksisterer. 3. Problemformulering med henblik på opstilling af model. 4. Modelopstilling og løsning, herunder diskussion af den opstillede models egnethed til beskrivelse af problemet. 5. Konklusion

Vi ønsker at evaluere dør´s SMEC-model m.h.t. DEWS evne til at forudsige retning og størrelse af konjunkturudviklingen i Danmark.

Projektet giver en kort beskrivelse af opbygningen af en primitiv lignings vejrmodel. Formålet med en sådan model er ved hjælp af beregnnger, at forudsige hvordan nogle bestemte størrelser, der er relevante for vejret, vil opføre sig med tiden. Her lægges særligt vægt på en bestemt type model kaldet High Resolution Limited Area Models (Model for et begrænset område, med en høj opløsning), som benyttes til vejrforudsigelser på Danmarks Meteorologiske Institut (DMI). At en model er højt opløst betyder, at det net af resultater som en vejrmodel regner sig frem til, er meget finmasket i forhold til andre modeller. Denne type model er opbygget som en to-trinsprocedure, hvorman for at kunne beskrive de bevægelser der foregår udenfor Limited Area Modellens beregningsområde, er nødt til at benytte såkaldte randværdier fra en global model af grov opløsning. (Dvs. prognoseresultatet fra denne). Denne konstruktion skyldes at en øget opløsning medfører et behov for øget computerkraft (af tekniske grunde er det ikke muligt), og man kan derfor ikke bruge hele jorden som beregningsområde. Hovedformålet i projektet er, at undersøge om der er nogen problemer i, at anvende randværdier af en grovere opløsning end det resultat man ønsker at opnå indenfor beregningsområdet. Vi har måttet konkludere, at det er der ikke, men at et langt større problem er, at resultatet fra den globale model er kvalitetsmæssigt for dårligt, idet de målinger som den globale model fodres med, er af for dårlig kvalitet.

I projektet analyseres en række matematiske modeller, der beskriver baroreceptorers respons ved forskellige blodtryksforhold. Målet er at vurdere, på hvilken måde, disse modeller kan bidrage til forståelsen af ovennævnte fysiologiske sammenhæng. Vurderingen bygger på en analyse af, hvilket potentiale, der ligger i de forskellige typer af matematiske modeller, samt en analyse af, hvordan forholdene under de eksperimenter, som ligger til grund for modellerne, adskiller sig fra den virkelige fysiologiske situation. I projektet har modellerne, indenfor de samme kapitler, grundlæggende det samme formål. Derved er det muligt at konstatere, at der indenfor de enkelte kapitler, er flere forskellige, mere eller mindre hensigtsmæssige, måder at bygge en matematisk model op på. Endvidere giver inddelingen i kapitler mulighed for at konstatere, at de forskellige tilgangsvinkler til den matematiske modellering af baroreceptorers respons, giver forskellige fordele hhv. ulemper. I den forbindelse belyser vi bl.a. forskellen på at arbejde udfra et teoretisk grundlag hhv. nogle eksperimentelle resultater. I 9. Kapitel sammenfattes en række af de måder, hvorved matematisk modellering kan bidrage til forståelsen af baroreceptorernes respons. Med hensyn til de matematiske modellers beskrivelse af den virkelige fysiologiske situation, er konklusionen den, at forholdene under de eksperimenter, der ligger til grund for de matematiske modeller, er så forskellige fra den virkelige fysiologiske situation, at de matematiske modeller må anses for, at være bedre egnede til, at give kvalitative fremfor kvantitative udsagn om baroreceptorernes respons, som den foregår i en levende organisme.